Esboce cada região e encontre a área.
Passo 1
No enunciado, a missão é esboçar a região R definida por 0 ≤ x ≤ π/4 e
e calcular sua área. Esse tema é integração para cálculo de áreas em coordenadas cartesianas.
Passo 2
Para esboçar R, note que no intervalo [0, π/4] a curva
começa em 0 e cresce, enquanto
começa em 1 e decresce. Como
nesse intervalo, R fica entre essas duas curvas para x de 0 até π/4.
Passo 3
Em termos de integração, a área A de R é dada por
Fazendo a integral em y primeiro, obtemos
Passo 4
O próximo passo é encontrar uma primitiva de
. Usando que ∫
dx =
e ∫
dx = -
, percebemos que
Passo 5
Agora, avaliamos essa primitiva entre x = 0 e x = π/4: