Esboce cada região e encontre a área.
integral0^pi / 4 integralsen x^cos x d y d x

Passo 1

No enunciado, a missão é esboçar a região R definida por 0 ≤ x ≤ π/4 e
sin x <= y <= cos x e calcular sua área. Esse tema é integração para cálculo de áreas em coordenadas cartesianas.

Passo 2

Para esboçar R, note que no intervalo [0, π/4] a curva y=sin x começa em 0 e cresce, enquanto y=cos x começa em 1 e decresce. Como sin x<=cos x nesse intervalo, R fica entre essas duas curvas para x de 0 até π/4.

Passo 3

Em termos de integração, a área A de R é dada por
A = integral0^pi/4 integralsin x^cos x dy,dx
Fazendo a integral em y primeiro, obtemos
A = integral0^pi/4 (cos x - sin x),dx

Passo 4

O próximo passo é encontrar uma primitiva de cos x - sin x. Usando que ∫ cos xdx = sin x e ∫ sin xdx = - cos x, percebemos que
integral (cos x - sin x),dx = sin x + cos x

Passo 5

Agora, avaliamos essa primitiva entre x = 0 e x = π/4:
A = [sin x + cos x]0^pi/4 = (tfracraiz22 + tfracraiz22) - (0 + 1) = raiz2 - 1

Resposta

raiz2 - 1

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