Mostre que, sob algumas condições a serem enunciadas sobre campos vetoriais F e G,
rot(F times G)=F div G-G div F+(G cdot nabla) F-(F cdot nabla) G

Passo 1

O objetivo é mostrar que, para campos vetoriais F e G de classe C^2 num domínio aberto (ou seja, de modo que as derivadas parciais de segunda ordem existam e comutem), vale a identidade
rot(FtimesG) =F,divG -G,divF +(Gcdotnabla)F -(Fcdotnabla)G
Vamos usar notação de índices e a propriedade do símbolo de Levi-Civita para fazer a prova de forma sistemática.

Passo 2

Em notação de índices de Einstein temos
(nablatimes(FtimesG))i =varepsiloni j k,partialjl((FtimesG)kr) =varepsiloni j k,partialjl(varepsilonkell m,Fell,Gmr)
Usando a identidade de contração
varepsiloni j k,varepsilonkell m =de<aiell,de<ajm-de<aim,de<ajell,
segue que
(nablatimes(FtimesG))i =partialjl(Fi,Gj-Fj,Gir)

Passo 3

Agora expandimos a derivada:
partialj(Fi,Gj-Fj,Gi) =partialjFi,Gj+Fi,partialjGj -partialjFj,Gi-Fj,partialjGi
Reconhecendo
partialjGj=divG,
partialjFj=divF,
partialjFi,Gj=(Gcdotnabla)Fi
e
partialjGi,Fj=(Fcdotnabla)Gi,
obtemos
(nablatimes(FtimesG))i =Fi,divG -Gi,divF +(Gcdotnabla)Fi -(Fcdotnabla)Gi

Passo 4

Como a igualdade componente a componente vale para todo i=1,2,3, concluímos em forma vetorial:
rot(FtimesG) =F,divG -G,divF +(Gcdotnabla)F -(Fcdotnabla)G

Resposta

rot(FtimesG) =F,divG -G,divF +(Gcdotnabla)F -(Fcdotnabla)G

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