Mostre que, sob algumas condições a serem enunciadas sobre campos vetoriais
e
,
Passo 1
O objetivo é mostrar que, para campos vetoriais
e
de classe
num domínio aberto (ou seja, de modo que as derivadas parciais de segunda ordem existam e comutem), vale a identidade
Vamos usar notação de índices e a propriedade do símbolo de Levi-Civita para fazer a prova de forma sistemática.
Passo 2
Em notação de índices de Einstein temos
Usando a identidade de contração
segue que
Passo 3
Agora expandimos a derivada:
Reconhecendo
,
,
e
,
obtemos
e
obtemos
Passo 4
Como a igualdade componente a componente vale para todo
, concluímos em forma vetorial: