Use o Teorema de Green para calcular integralC x^2 y d x-x y^2 d y, onde C é o circulo x^2+y^2=4 orientado no sentido anti-horário.

Passo 1

A questão pede para calcular a integral de linha ointC P,dx + Q,dy ao redor do círculo x^2+y^2=4 no sentido anti-horário. Esse tipo de integral a gente resolve de forma mais fácil aplicando o Teorema de Green, que transforma a integral de linha numa integral dupla sobre a região D (o disco de raio 2) delimitada por C.

Passo 2

Para usar o Teorema de Green, identificamos as componentes do campo vetorial: definimos P(x,y)=x^2y e Q(x,y)=-xy^2. Então calculamos as derivadas parciais necessárias:
partial Qpartial x=partial(-xy^2)partial x=-y^2, partial Ppartial y=partial(x^2y)partial y=x^2

Passo 3

Pelo Teorema de Green,
ointC P,dx + Q,dy=integral duplaDl(partial Qpartial x-partial Ppartial yr),dA
Substituindo as derivadas, o integrando fica
partial Qpartial x-partial Ppartial y=-y^2 - x^2 = -(x^2+y^2)

Passo 4

Agora convertemos para coordenadas polares: x=rcostheta, y=rsintheta, área dA=r,dr,dtheta, com 0<= r<=2 e 0<=theta<=2pi. A integral dupla é:
integral duplaD -(x^2+y^2),dA = integral0^2piintegral0^2 -r^2;(r,dr,dtheta) = -integral0^2piintegral0^2 r^3,dr,dtheta

Passo 5

Calculamos primeiro a parte radial:
integral0^2r^3,dr=r^44|0^2=164=4
Depois a parte angular:
integral0^2pidtheta=2pi

Passo 6

Multiplicando tudo com o sinal negativo:
-,(4),(2pi)=-8pi

Resposta

-8\pi

Exercícios relacionados