Use o Teorema de Green para calcular
, onde
é o circulo
orientado no sentido anti-horário.
Passo 1
A questão pede para calcular a integral de linha
ao redor do círculo
no sentido anti-horário. Esse tipo de integral a gente resolve de forma mais fácil aplicando o Teorema de Green, que transforma a integral de linha numa integral dupla sobre a região
(o disco de raio 2) delimitada por
.
Passo 2
Para usar o Teorema de Green, identificamos as componentes do campo vetorial: definimos
e
. Então calculamos as derivadas parciais necessárias:
Passo 3
Pelo Teorema de Green,
Substituindo as derivadas, o integrando fica
Passo 4
Agora convertemos para coordenadas polares:
,
, área
, com
e
. A integral dupla é:
Passo 5
Calculamos primeiro a parte radial:
Depois a parte angular:
Passo 6
Multiplicando tudo com o sinal negativo:
Resposta
-8\pi