V=f(x, R) é espaço vetorial?

Passo 1

O enunciado define
V = ,f mid fcolon RtoR,
e pergunta se esse conjunto, com as operações de soma e multiplicação por escalar definidas ponto a ponto, é um espaço vetorial sobre o corpo R. Para responder, vamos verificar os requisitos: fechamento, elemento neutro, inverso aditivo e axiomas herdados de R.

Passo 2

Fechamento em relação à soma. Sejam f,gin V. Definimos a soma ponto a ponto por
(f+g)(x) = f(x)+g(x)
Como f(x) e g(x) são reais para todo x, temos f(x)+g(x)inR, logo f+gcolonRtoR e f+gin V.

Passo 3

Fechamento em relação à multiplicação por escalar. Seja fin V e alphainR. Definimos
(alpha f)(x) = alphacdot f(x)
Como alphacdot f(x)inR para todo x, temos alpha fin V.

Passo 4

Elemento neutro e inverso aditivo.
  • Zero: a função zero 0V dada por 0V(x) = 0, forall xinR pertence a V e satisfaz f + 0V = f.
  • Inverso: para cada fin V, existe -fin V definido por (-f)(x) = -,f(x), e f + (-f) = 0V.

Passo 5

Axiomas de associatividade, comutatividade da soma, distributividade e compatibilidade entre escalares e soma de funções seguem diretamente das mesmas propriedades em R, pois tudo é definido ponto a ponto.

Resposta

Sim. V=fcolonRtoR, com soma e multiplicação por escalar ponto a ponto, é um espaço vetorial sobre R.

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