é espaço vetorial?
Passo 1
O enunciado define
e pergunta se esse conjunto, com as operações de soma e multiplicação por escalar definidas ponto a ponto, é um espaço vetorial sobre o corpo
. Para responder, vamos verificar os requisitos: fechamento, elemento neutro, inverso aditivo e axiomas herdados de
.
Passo 2
Fechamento em relação à soma. Sejam
. Definimos a soma ponto a ponto por
Como
e
são reais para todo
, temos
, logo
e
.
Passo 3
Fechamento em relação à multiplicação por escalar. Seja
e
. Definimos
Como
para todo
, temos
.
Passo 4
Elemento neutro e inverso aditivo.
- Zero: a função zero
dada por pertence a e satisfaz . - Inverso: para cada
, existe definido por e .
Passo 5
Axiomas de associatividade, comutatividade da soma, distributividade e compatibilidade entre escalares e soma de funções seguem diretamente das mesmas propriedades em
, pois tudo é definido ponto a ponto.
Resposta
Sim.
, com soma e multiplicação por escalar ponto a ponto, é um espaço vetorial sobre
.