- Em que situações é necessário modificar a solução tentativa no método dos coeficientes indeterminados (por exemplo, multiplicar por x ou x²)?
Passo 1
O enunciado pergunta sobre o método dos coeficientes indeterminados para equações diferenciais lineares com coeficientes constantes e força não homogênea
. Precisamos saber quando a forma “natural” da solução particular entra em conflito com alguma solução da equação homogênea, obrigando-nos a modificá-la (por exemplo, multiplicar por
ou
).
Passo 2
No método dos coeficientes indeterminados a gente escolhe uma “chute”
cujo formato coincide com
. Por exemplo, se
é um polinômio de grau
usamos
e se
usamos
onde
têm o mesmo grau de
.
Passo 3
Ocorre “resonância” quando algum termo da nossa
for solução da parte homogênea
Isso acontece sempre que o “chute” contém um fator
ou
para o qual
seja raiz da equação característica
ou quando chutamos um polinômio e
for raiz da característica (polinômio constante é solução homogênea).
Passo 4
Se
é raiz da característica de multiplicidade
, multiplicamos o chute original por
.
- Se a raiz for simples (
), usamos . - Se for dupla (
), usamos .
Ou seja, num caso geral:
Para polinômios puros (
), a mesma regra vale: se
tem multiplicidade
, multiplica-se o polinômio por
.
Passo 5
Exemplos rápidos:
-
. A característica é , raiz dupla . O chute natural seria , mas como isso já é solução homogênea de multiplicidade 2, usamos
-
. Aqui é polinômio de grau zero e não tem raiz . Logo o chute funciona sem modificações.
Resposta
Sempre que algum termo do chute particular coincidir com solução da homogênea — isto é, sempre que a frequência/exponencial rodada por
corresponder a uma raiz
da equação característica de multiplicidade
— devemos multiplicar o chute original por
(por exemplo, por
se a raiz for simples, por
se for dupla).