1. Em que situações é necessário modificar a solução tentativa no método dos coeficientes indeterminados (por exemplo, multiplicar por x ou x²)?

Passo 1

O enunciado pergunta sobre o método dos coeficientes indeterminados para equações diferenciais lineares com coeficientes constantes e força não homogênea g(t). Precisamos saber quando a forma “natural” da solução particular entra em conflito com alguma solução da equação homogênea, obrigando-nos a modificá-la (por exemplo, multiplicar por t ou t^2).

Passo 2

No método dos coeficientes indeterminados a gente escolhe uma “chute” yp(t) cujo formato coincide com g(t). Por exemplo, se g(t) é um polinômio de grau n usamos
yp(t)=a0 + a1t + cdots + ant^n,
e se g(t)=e^alpha tl(P(t)cos(beta t)+Q(t)sin(beta t)r) usamos
yp(t)=e^alpha tl(tilde P(t)cos(beta t)+tilde Q(t)sin(beta t)r),
onde tilde P,tilde Q têm o mesmo grau de P,Q.

Passo 3

Ocorre “resonância” quando algum termo da nossa yp(t) for solução da parte homogênea
y'' + a1 y' + a0 y=0
Isso acontece sempre que o “chute” contém um fator e^alpha tcos(beta t) ou e^alpha tsin(beta t) para o qual alphapm ibeta seja raiz da equação característica
r^2 + a1 r + a0=0,
ou quando chutamos um polinômio e r=0 for raiz da característica (polinômio constante é solução homogênea).

Passo 4

Se alphapm ibeta é raiz da característica de multiplicidade s, multiplicamos o chute original por t^s.
  • Se a raiz for simples ( s=1), usamos t.
  • Se for dupla ( s=2), usamos t^2.
    Ou seja, num caso geral:
yp(t)=t^s,e^alpha tl(tilde P(t)cos(beta t)+tilde Q(t)sin(beta t)r)
Para polinômios puros ( alpha=beta=0), a mesma regra vale: se r=0 tem multiplicidade s, multiplica-se o polinômio por t^s.

Passo 5

Exemplos rápidos:
  1. y''-4y'+4y=e^2t. A característica é (r-2)^2=0, raiz dupla r=2. O chute natural seria Ae^2t, mas como isso já é solução homogênea de multiplicidade 2, usamos
yp(t)=At^2e^2t
  1. y''+y=1. Aqui g(t)=1 é polinômio de grau zero e r^2+1=0 não tem raiz 0. Logo o chute yp=A funciona sem modificações.

Resposta

Sempre que algum termo do chute particular coincidir com solução da homogênea — isto é, sempre que a frequência/exponencial rodada por g(t) corresponder a uma raiz alphapm ibeta da equação característica de multiplicidade s — devemos multiplicar o chute original por t^s (por exemplo, por t se a raiz for simples, por t^2 se for dupla).

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