Determine (a) o rotacional e (b) o divergente do campo vetorial.
F(x, y, z)=lang<= e^x, e^x y, e^x xrang<=

Passo 1

O enunciado pede (a) o rotacional e (b) o divergente do campo vetorial
F(x,y,z)=lang<= e^x,,e^xy,,e^x xrang<=.
Aqui percebemos que o terceiro componente é e^xcdot x=e^x^2, logo
F(x,y,z)=l(F1,F2,F3r) =l(e^x,;e^xy,;e^x^2r)
Para resolver, vamos usar as definições de operador nabla:
nablatimes F para o rotacional,
nablacdot F para o divergente.

Passo 2

Relembrando a definição do rotacional em coordenadas cartesianas:
nablatimesF =l(partialyF3-partialzF2,; partialzF1-partialxF3,; partialxF2-partialyF1r)
Vamos calcular cada derivada parcial envolvida.

Passo 3

Cálculo das derivadas parciais:
partialyF3=partialyl(e^x^2r)=0, partialzF2=partialzl(e^xyr)=0,
partialzF1=partialzl(e^xr)=0, partialxF3=partialxl(e^x^2r)=2x,e^x^2,
partialxF2=partialxl(e^xyr)=y,e^xy, partialyF1=partialyl(e^xr)=0

Passo 4

Substituindo no vetor do rotacional:
nablatimesF =l(0-0,;0-2x,e^x^2,;y,e^xy-0r) =l(0,;-2x,e^x^2,;y,e^xyr)

Passo 5

Agora o divergente, cuja definição é
nablacdotF =partialxF1+partialyF2+partialzF3
Já temos
partialxF1=partialx(e^x)=e^x,
partialyF2=partialy(e^xy)=x,e^xy,
partialzF3=partialz(e^x^2)=0.

Passo 6

Somando essas componentes obtemos
nablacdotF =e^x + x,e^xy + 0 =e^x + x,e^xy

Resposta

(a) nablatimesF=l(0,;-2x,e^x^2,;y,e^xyr)
(b) nablacdotF=e^x + x,e^xy

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