Questäo (valor 2.5)
Considere as funcōes
l f : ( 2 , 5 ] R x mapsto f ( x ) = x ( x + 1 ) r g : operatorname D o m ( g ) R x mapsto g ( x ) = raiz x - 8 3 6 - x r h:(0, infty) R x mapsto h(x)=-ln x
(a) Ache, caso existam, u in(2,5] e v in(0, infty) tais que f(u)=-1 e h(v)=ln 3, respectivamente.
(b) Determine Dom (g), ou seja, o domínio de g.
(c) Determine I m(f) e Im(h), isto é, as imagens das funções f e h, respectivamente.
(d) Encontre, caso possivel, as fimçoses g circ f e h circ g, definindo seus domfriós.

Passo 1

O enunciado trata de três funções
fcolon(2,5]toR, f(x)=x(x+1),
gcolonDom(g)toR, g(x)=raizx-836-x,
hcolon(0,infty)toR, h(x)=-ln x
Os itens pedem (a) resolver f(u)=-1 e h(v)=ln3; (b) determinar Dom(g); (c) achar Im(f) e Im(h); (d) compor gcirc f e hcirc g e definir seus domínios.

Passo 2

Para f(u)=-1 resolvemos
u(u+1)=-1 Longrightarrow u^2+u+1=0,
cuja discriminante é 1-4=-3<0, logo não há uin(2,5].
Para h(v)=ln3 temos
-ln v=ln3 Longrightarrow ln v=-ln3 Longrightarrow v= e^-ln3=tfrac13,
e de fato tfrac13in(0,infty).

Passo 3

Para achar Dom(g) exigimos
x-836-x>=0, 36-xneq0
As raízes de numerador e denominador são x=8 e x=36. Testando os intervalos, verifica-se que a fração é não negativa para xin[8,36). Portanto
Dom(g)=[8,36)

Passo 4

A imagem de f em (2,5]: note que
f'(x)=2x+1>0forall x>2,
logo f é estritamente crescente. Em xto2^+ vale f(x)to6 (não incluído) e em x=5 vale f(5)=30. Assim
Im(f)=(6,30]
Para h(x)=-ln x em (0,infty), xto0^+ hto+infty e xto+infty hto-infty. Logo
Im(h)=R

Passo 5

Para gcirc f precisamos de xin(2,5] tal que f(x)inDom(g)=[8,36). A condição f(x)>=8 é
x^2+x-8>=0 Longrightarrow x>=-1+raiz332
(e a outra raiz fica abaixo de 2). A condição f(x)<36 é automática em (2,5]. Portanto
Dom(gcirc f) =l[tfrac-1+raiz332,5r]
e
(gcirc f)(x) =raizf(x)-836-f(x) =raizx^2+x-836-x^2-x

Passo 6

Para hcirc g precisamos de xinDom(g)=[8,36) tal que g(x)>0, pois Dom(h)=(0,infty). Em x=8 temos g(8)=0, excluído, e em 8<x<36 fica g(x)>0. Logo
Dom(hcirc g)=(8,36)
e
(hcirc g)(x) =-lnl(raiztfracx-836-xr) =-tfrac12ln!l(tfracx-836-xr) =tfrac12l[ln(36-x)-ln(x-8)r]

Resposta

(a) Não existe u com f(u)=-1. Para h(v)=ln3, v=tfrac13.
(b) Dom(g)=[8,36).
(c) Im(f)=(6,30], Im(h)=R.
(d)
Dom(gcirc f)=l[tfrac-1+raiz332,5r], (gcirc f)(x)=raizx^2+x-836-x^2-x,
Dom(hcirc g)=(8,36), (hcirc g)(x)=-tfrac12ln!l(tfracx-836-xr)

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