Determine o rotacional e o divergente do campo vetorial dado.
F(x, y, z)=(ln x, ln (x y), ln (x y^2).

Passo 1

O enunciado pede o divergente e o rotacional (curl) do campo vetorial
F(x,y,z)=l(ln x,;ln(xy),;ln(xy^2)r),
cujo domínio natural é x>0, y>0. Vamos usar derivadas parciais: para o divergente, somamos partial F1/partial x, partial F2/partial y e partial F3/partial z; para o rotacional, aplicamos a fórmula padrão em termos das componentes F1,F2,F3.

Passo 2

Calculando o divergente:
div,F = partialpartial xl(ln xr) + partialpartial yl(ln(xy)r) + partialpartial zl(ln(xy^2)r)
Agora cada termo:
partialxln x = 1/x,
partialyln(xy) = 1/y,
partialzln(xy^2)=0.
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div,F = 1x + 1y

Passo 3

Calculando o rotacional:
rot,F =l(partialyF3-partialzF2,; partialzF1-partialxF3,; partialxF2-partialyF1r)
Derivadas necessárias:
partialyln(xy^2)=2/y,
partialzln(xy)=0,
partialzln x=0,
partialxln(xy^2)=1/x,
partialxln(xy)=1/x,
partialyln x=0.
Substituindo:
rot,F =l(2/y - 0,;0 - 1/x,;1/x - 0r) =l(tfrac2y,;-,tfrac1x,;tfrac1xr)

Resposta

Divergente:
div,F = 1x + 1y
Rotacional:
rot,F = l(tfrac2y,;-,tfrac1x,;tfrac1xr)

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