Mostre que, se um campo vetorial
é conservativo e
têm derivadas parciais de primeira ordem contínuas, então:
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, se um campo vetorial
é conservativo e têm derivadas parciais de primeira ordem contínuas, então valem as igualdades
é conservativo e
O conteúdo que vamos usar é: (1) definição de campo conservativo via potencial escalar
e (2) Teorema de Schwarz sobre igualdade de derivadas parciais mistas para funções
.
Passo 2
Como
é conservativo e
são
, existe uma função potencial
de classe
tal que
Isto é,
Passo 3
Pela continuidade das segundas derivadas de
e pelo Teorema de Schwarz, as derivadas mistas coincidem:
Substituindo
temos