Mostre que, se um campo vetorial F=P i+Q j+R k é conservativo e P, Q, R têm derivadas parciais de primeira ordem contínuas, então:
partial Ppartial y=partial Qpartial x, partial Ppartial z=partial Rpartial x e partial Qpartial x=partial Rpartial z

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, se um campo vetorial
F=P,i+Q,j+R,k
é conservativo e P,Q,R têm derivadas parciais de primeira ordem contínuas, então valem as igualdades
partial Ppartial y=partial Qpartial x, partial Ppartial z=partial Rpartial x, partial Qpartial z=partial Rpartial y
O conteúdo que vamos usar é: (1) definição de campo conservativo via potencial escalar varphi e (2) Teorema de Schwarz sobre igualdade de derivadas parciais mistas para funções C^2.

Passo 2

Como F é conservativo e P,Q,R são C^1, existe uma função potencial varphi(x,y,z) de classe C^2 tal que
nablavarphi = l(varphix,varphiy,varphizr) = l(P,Q,Rr)
Isto é,
P = partial varphipartial x, Q = partial varphipartial y, R = partial varphipartial z

Passo 3

Pela continuidade das segundas derivadas de varphi e pelo Teorema de Schwarz, as derivadas mistas coincidem:
varphixy = varphiyx, varphixz = varphizx, varphiyz = varphizy
Substituindo P,Q,R temos
partialpartial yl(varphixr) = partialpartial xl(varphiyr) Longrightarrow partial Ppartial y = partial Qpartial x,
partialpartial zl(varphixr) = partialpartial xl(varphizr) Longrightarrow partial Ppartial z = partial Rpartial x,
partialpartial zl(varphiyr) = partialpartial yl(varphizr) Longrightarrow partial Qpartial z = partial Rpartial y

Resposta

partial Ppartial y=partial Qpartial x, partial Ppartial z=partial Rpartial x, partial Qpartial z=partial Rpartial y

Exercícios relacionados