Determine o rotacional e o divergente do campo vetorial \mathbf{F}(x, y, z)=x y z^{2} \mathbf{i}+x^{2} y z^{2} \mathbf{j}+x^{2} y^{2} z \mathbf{k}.
9. Calcule, caso exista, \lim _{n \rightarrow+\infty} a_{n}, sendo:
(a) a_{n}=\frac{n^{3}+3 n+1}{4 n^{3}+2}
(b) a_{n}=\sqrt{n+1}-\sqrt{n}

Passo 1

O enunciado tem duas partes. Na primeira, temos o campo vetorial \mathbf{F}(x,y,z)=x y z^{2}\,\mathbf{i}+x^{2} y z^{2}\,\mathbf{j}+x^{2} y^{2} z\,\mathbf{k}
e precisamos calcular o divergente \nabla\cdot\mathbf{F} e o rotacional \nabla\times\mathbf{F}. Isso envolve derivadas parciais do componente i, j e k.
Na segunda parte, aparecem duas sequências
a_{n}=\frac{n^{3}+3n+1}{4n^{3}+2} \quad\text{e}\quad a_{n}=\sqrt{n+1}-\sqrt{n},
e temos de encontrar \lim_{n\to+\infty}a_{n}. Para isso vamos usar comparação de graus de polinômios e racionalização.

Passo 2

Vamos calcular o divergente
\nabla\cdot\mathbf{F} =\frac{\partial}{\partial x}(x y z^{2}) +\frac{\partial}{\partial y}(x^{2} y z^{2}) +\frac{\partial}{\partial z}(x^{2} y^{2} z).
Cada termo dá: \frac{\partial}{\partial x}(x y z^{2})=y z^{2}, \frac{\partial}{\partial y}(x^{2} y z^{2})=x^{2} z^{2}, \frac{\partial}{\partial z}(x^{2} y^{2} z)=x^{2} y^{2}.
Logo
\nabla\cdot\mathbf{F} =y z^{2}+x^{2} z^{2}+x^{2} y^{2}.

Passo 3

Agora o rotacional
\nabla\times\mathbf{F} =\begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k}\\\ \partial/\partial x & \partial/\partial y & \partial/\partial z\\\ x y z^{2} & x^{2} y z^{2} & x^{2} y^{2} z \end{vmatrix}.
Calculando cada componente:
(∇×F) _{x}=\frac{\partial}{\partial y}(x^{2}y^{2}z)-\frac{\partial}{\partial z}(x^{2}y z^{2})=2x^{2}yz-2x^{2}yz=0,
(∇×F) _{y}=\frac{\partial}{\partial z}(x y z^{2})-\frac{\partial}{\partial x}(x^{2}y^{2}z) =2xyz-2xy^{2}z=2xyz(1-y),
(∇×F) _{z}=\frac{\partial}{\partial x}(x^{2}y z^{2})-\frac{\partial}{\partial y}(x y z^{2}) =2xy z^{2}-x z^{2}=x z^{2}(2y-1).
Portanto
\nabla\times\mathbf{F} =0\,\mathbf{i}+2x y z(1-y)\,\mathbf{j}+x z^{2}(2y-1)\,\mathbf{k}.

Passo 4

Passando para as sequências, a ideia geral é comparar termos de maior grau em n ou, no caso da diferença de raízes, racionalizar para ver o comportamento quando n\to\infty.

Passo 5

Para
a_{n}=\frac{n^{3}+3n+1}{4n^{3}+2},
os termos de maior grau são n^{3} no numerador e 4n^{3} no denominador. Logo
\lim_{n\to\infty}a_{n} =\frac{1}{4}.

Passo 6

Para
a_{n}=\sqrt{n+1}-\sqrt{n},
multiplicamos numerador e denominador pelo conjugado:
\sqrt{n+1}-\sqrt{n} =\frac{(\sqrt{n+1}-\sqrt{n})(\sqrt{n+1}+\sqrt{n})} {\sqrt{n+1}+\sqrt{n}} =\frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}.
Quando n\to\infty, o denominador cresce sem limite, então
\lim_{n\to\infty}a_{n}=0.

Resposta

\displaystyle \nabla\cdot\mathbf{F}=y z^{2}+x^{2} z^{2}+x^{2} y^{2}, \displaystyle \nabla\times\mathbf{F}=0\,\mathbf{i}+2x y z(1-y)\,\mathbf{j}+x z^{2}(2y-1)\,\mathbf{k}, \displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac{n^{3}+3n+1}{4n^{3}+2}=\frac{1}{4}, \displaystyle \lim_{n\to\infty}\bigl(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\bigr)=0.

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