Questão 1. (Vale 3.0 pontos). As matrizes A e B são dadas por:
A=\left(\begin{array}{ccc} x-y+3 z & 2 & 1 \\\\ 13 & 2 x-3 y+4 z & 2 \\\\ 7 & 5 & -2 x+y+z \end{array}\right) \text { e } B=\left(\begin{array}{ccc} 6 & 2 & 1 \\\\ 13 & 0 & 2 \\\\ 7 & 5 & 3 \end{array}\right)
Encontre o valor de x, y e z, se possivel, em que A=B.

Passo 1

O enunciado dá duas matrizes
A=\begin{pmatrix} x - y + 3z & 2 & 1\\\\ 13 & 2x - 3y + 4z & 2\\\\ 7 & 5 & -2x + y + z \end{pmatrix} \quad\text{e}\quad B=\begin{pmatrix} 6 & 2 & 1\\\\ 13 & 0 & 2\\\\ 7 & 5 & 3 \end{pmatrix}
e pede os valores de x,y,z tais que A=B. Para isso usamos o fato de que duas matrizes são iguais se, e somente se, todas as entradas correspondentes são iguais. Isso leva a um sistema de equações lineares.

Passo 2

Comparando entrada a entrada, vemos que as igualdades triviais 2=2, 1=1, 13=13, 2=2, 7=7, 5=5 já são satisfeitas, restando apenas três equações não-triviais:
\begin{cases} x - y + 3z = 6,\\\\ 2x - 3y + 4z = 0,\\\\ -2x + y + z = 3. \end{cases}

Passo 3

Da primeira equação isolamos x:
x = 6 + y - 3z.
Da terceira equação isolamos y:
-2x + y + z = 3 \;\Longrightarrow\; y = 3 + 2x - z.

Passo 4

Substituímos x=6+y-3z na expressão de y:
y = 3 + 2(6 + y - 3z) - z = 3 + 12 + 2y - 6z - z = 15 + 2y -7z \;\Longrightarrow\; - y + 7z = 15 \;\Longrightarrow\; y = 7z - 15.
Agora usamos x=6+y-3z e y=7z-15 na segunda equação 2x -3y +4z=0:
2(6 + (7z-15) -3z) -3(7z-15) +4z = 0 \;\Longrightarrow\; 2(6 +7z -15 -3z) -21z +45 +4z =0 \;\Longrightarrow\; 2(-9 +4z) -17z +45 =0 \;\Longrightarrow\; -18 +8z -17z +45 =0 \;\Longrightarrow\; -9z +27 =0 \;\Longrightarrow\; z = 3.
Com z=3 obtemos
y = 7\cdot3 -15 = 21 -15 = 6, \quad x = 6 + y -3z = 6 +6 -9 = 3.

Resposta

(x,y,z) = (3,6,3)

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