Sabendo que
\mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{s-a}{(s-a)^{2}+b^{2}}\right\}=e^{\alpha t} \cos (b t) e \mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{b}{(s-a)^{2}+b^{2}}\right\}=e^{\alpha t} \sin (b t)
utilize a transformada de Laplace e estas inversas para resolver o problema de valor inicial dado:
y^{\prime \prime}-2 y^{\prime}+5 y=0, y(0)=1, y^{\prime}(0)=3

Passo 1

O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial dado por
y'' - 2y' + 5y = 0,\quad y(0)=1,\quad y'(0)=3
usando transformada de Laplace e as inversas conhecidas
\mathcal{L}^{-1}\Bigl\{\frac{s-a}{(s-a)^{2}+b^{2}}\Bigr\}=e^{a t}\cos(bt), \quad \mathcal{L}^{-1}\Bigl\{\frac{b}{(s-a)^{2}+b^{2}}\Bigr\}=e^{a t}\sin(bt).

Passo 2

Aplicando a transformada de Laplace em cada termo, usando \mathcal{L}\{y''\}=s^{2}Y(s)-sy(0)-y'(0) e \mathcal{L}\{y'\}=sY(s)-y(0), obtemos
s^{2}Y(s)-s\cdot1-3 -2\bigl(sY(s)-1\bigr) +5Y(s)=0.
Simplificando,
(s^{2}-2s+5)\,Y(s) - (s+1)=0.

Passo 3

Isolando Y(s), fica
Y(s)=\frac{s+1}{s^{2}-2s+5}.

Passo 4

Vamos completar o quadrado no denominador e decompor o numerador:
s^{2}-2s+5=(s-1)^{2}+2^{2}, \quad s+1=(s-1)+2.
Logo
Y(s) =\frac{s-1}{(s-1)^{2}+2^{2}} +\frac{2}{(s-1)^{2}+2^{2}}.

Passo 5

Usando as transformadas inversas com a=1 e b=2:
\mathcal{L}^{-1}\Bigl\{\frac{s-1}{(s-1)^{2}+2^{2}}\Bigr\} = e^{t}\cos(2t), \quad \mathcal{L}^{-1}\Bigl\{\frac{2}{(s-1)^{2}+2^{2}}\Bigr\} = e^{t}\sin(2t).
Assim
y(t)=e^{t}\cos(2t)+e^{t}\sin(2t) =e^{t}\bigl(\cos(2t)+\sin(2t)\bigr).

Resposta

y(t)=e^{t}\bigl(\cos(2t)+\sin(2t)\bigr)

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