Questāo 2. (Vale 3.0 pontos). Seja
. Mostre que o conjunto
é um subespaço vetorial real do
. Tal subespaço é conhecido como um subespaço fundamental e recebe o nome dos espaços das colunas da matriz
.
Passo 1
O enunciado define a matriz
e o conjunto
que é justamente o espaço gerado pelas colunas de
. Queremos mostrar que
é um subespaço vetorial de
. Para isso, basta verificar três propriedades:
-
. - Se
então . - Se
e então .
Passo 2
Mostramos que
. Basta escolher o vetor nulo
. Então
e portanto
.
Passo 3
Verificamos a estabilidade sob soma e multiplicação por escalar. Seja
. Então existem
tais que
Para quaisquer escalares
, usamos a linearidade do produto matricial:
Como
, segue que
. Em particular, isso cobre tanto a soma
quanto a multiplicação por escalar
.
Passo 4
Concluímos que
contém o vetor zero, é fechado sob soma e sob multiplicação por escalar. Logo, pelos axiomas de subespaço vetorial,
é um subespaço de
.
Resposta
O conjunto
é um subespaço vetorial real de
.