Questāo 2. (Vale 3.0 pontos). Seja A \in M_{n}(\mathbb{R}). Mostre que o conjunto
C(A)=\left\{(A x) \in \mathbb{R}^{n} ; x \in \mathbb{R}^{n}\right\}
é um subespaço vetorial real do \mathbb{R}^{n}. Tal subespaço é conhecido como um subespaço fundamental e recebe o nome dos espaços das colunas da matriz A.

Passo 1

O enunciado define a matriz A\in M_{n}(\mathbb{R}) e o conjunto
C(A)=\{A x \in \mathbb{R}^n \mid x\in\mathbb{R}^n\},
que é justamente o espaço gerado pelas colunas de A. Queremos mostrar que C(A) é um subespaço vetorial de \mathbb{R}^n. Para isso, basta verificar três propriedades:
  1. 0\in C(A).
  2. Se u,v\in C(A) então u+v\in C(A).
  3. Se u\in C(A) e \alpha\in\mathbb{R} então \alpha u\in C(A).

Passo 2

Mostramos que 0\in C(A). Basta escolher o vetor nulo x=0\in\mathbb{R}^n. Então
A\cdot 0 = 0
e portanto 0\in C(A).

Passo 3

Verificamos a estabilidade sob soma e multiplicação por escalar. Seja u,v\in C(A). Então existem x,y\in\mathbb{R}^n tais que
u = A x \quad\text{e}\quad v = A y.
Para quaisquer escalares \alpha,\beta\in\mathbb{R}, usamos a linearidade do produto matricial:
\alpha u + \beta v = \alpha (A x) + \beta (A y) = A(\alpha x) + A(\beta y) = A(\alpha x + \beta y).
Como \alpha x + \beta y\in\mathbb{R}^n, segue que \alpha u+\beta v\in C(A). Em particular, isso cobre tanto a soma \alpha=\beta=1 quanto a multiplicação por escalar \beta=0.

Passo 4

Concluímos que C(A) contém o vetor zero, é fechado sob soma e sob multiplicação por escalar. Logo, pelos axiomas de subespaço vetorial, C(A) é um subespaço de \mathbb{R}^n.

Resposta

O conjunto C(A) é um subespaço vetorial real de \mathbb{R}^n.

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