Explique por que S não é uma base de M_{2,2} :
S=\left\{\left[\begin{array}{ll}1 & 0 \\\\ 0 & 1\end{array}\right],\left[\begin{array}{ll}0 & 1 \\\\ 1 & 0\end{array}\right]\right\}

Passo 1

O enunciado pede para explicar por que S não é uma base de M_{2,2}. As informações dadas são:
  • O espaço considerado é M_{2,2}, o conjunto de todas as matrizes 2\times2 (suponho sobre \mathbb{R}).
  • O subconjunto S é
S=\left\{I=\begin{pmatrix}1 & 0 \\[4pt] 0 & 1\end{pmatrix},\quad P=\begin{pmatrix}0 & 1 \\[4pt] 1 & 0\end{pmatrix}\right\}.
A tarefa: mostrar por que esse S não é uma base de M_{2,2}.]

Passo 2

Lembrete didático: o que significa ser uma base?
  • Um subconjunto B de um espaço vetorial V é uma base se e somente se duas condições são satisfeitas simultaneamente:
    1. B gera V (ou seja, \operatorname{span}(B)=V); isto significa que todo vetor de V pode ser escrito como combinação linear de vetores de B.
    2. Os vetores de B são linearmente independentes (nenhuma combinação linear não-trivial deles dá o vetor zero).
  • Uma consequência importante: se V tem dimensão n, então qualquer base de V tem exatamente n vetores.
Vou usar essas definições e consequências para analisar S.

Passo 3

Determinar a dimensão de M_{2,2} e um exemplo de base.
  • Um elemento genérico de M_{2,2} é
A=\begin{pmatrix}a & b \\[4pt] c & d\end{pmatrix},
onde a,b,c,d\in\mathbb{R}.
  • Podemos escrever A como combinação linear das matrizes padrão
E_{11}=\begin{pmatrix}1 & 0 \\[4pt] 0 & 0\end{pmatrix},\quad E_{12}=\begin{pmatrix}0 & 1 \\[4pt] 0 & 0\end{pmatrix},\quad E_{21}=\begin{pmatrix}0 & 0 \\[4pt] 1 & 0\end{pmatrix},\quad E_{22}=\begin{pmatrix}0 & 0 \\[4pt] 0 & 1\end{pmatrix},
pois
A=aE_{11}+bE_{12}+cE_{21}+dE_{22}.
  • Assim esses quatro E_{ij} geram M_{2,2} e são linearmente independentes, então formam uma base. Logo
\dim M_{2,2}=4.
  • Conclusão importante: qualquer base de M_{2,2} precisa ter exatamente 4 vetores.]

Passo 4

Contagem simples mostra problema com S.
  • O conjunto S tem apenas 2 vetores.
  • Como \dim M_{2,2}=4, qualquer base de M_{2,2} deve ter 4 vetores.
  • Portanto, por contagem, S não pode ser base de M_{2,2} (um conjunto com menos vetores do que a dimensão não pode gerar todo o espaço).

Passo 5

Mostro explicitamente que S não gera M_{2,2} (uma demonstração construtiva, útil na prova).
  • Considere a tentativa de escrever a matriz E_{11}=\begin{pmatrix}1&0\\[4pt]0&0\end{pmatrix} como combinação linear de I e P. Procure x,y\in\mathbb{R} tais que
xI+yP=\begin{pmatrix}1&0\\[4pt]0&0\end{pmatrix}.
  • Calcule o lado esquerdo:
xI+yP = x\begin{pmatrix}1&0\\[4pt]0&1\end{pmatrix} + y\begin{pmatrix}0&1\\[4pt]1&0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}x & y \\[4pt] y & x\end{pmatrix}.
  • Igualando entradas com \begin{pmatrix}1&0\\[4pt]0&0\end{pmatrix} dá o sistema
x=1,\quad y=0,\quad y=0,\quad x=0.
  • Esse sistema exige x=1 e x=0 simultaneamente, impossível. Logo não existem x,y que representem E_{11} como combinação linear de I e P.
  • Conclusão: E_{11}\not\in\operatorname{span}(S), então \operatorname{span}(S)\neq M_{2,2}. Em outras palavras, S não gera todo M_{2,2}.]

Passo 6

Observação adicional (didática): os vetores de S são linearmente independentes?
  • Se xI+yP=0 (matriz zero), então \begin{pmatrix}x & y\\[4pt] y & x\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&0\\[4pt]0&0\end{pmatrix}, logo x=0 e y=0. Portanto I e P são linearmente independentes.
  • Mesmo sendo independentes, são apenas 2 vetores: faltarão vetores para formar base de um espaço de dimensão 4. Assim independência sozinha não basta; falta geração.]

Resposta

S não é base de M_{2,2} porque \dim M_{2,2}=4 e S tem apenas 2 vetores, logo não pode gerar todo M_{2,2} (por exemplo, E_{11} não pertence a \operatorname{span}(S)).

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