Explique por que S não é uma base de M_{2,2} : S=\left\{\left[\begin{array}{ll}1 & 0 \\\\ 0 & 1\end{array}\right],\left[\begin{array}{ll}0 & 1 \\\\ 1 & 0\end{array}\right]\right\}
Passo 1
O enunciado pede para explicar por que S não é uma base de M_{2,2}. As informações dadas são:
O espaço considerado é M_{2,2}, o conjunto de todas as matrizes 2\times2 (suponho sobre \mathbb{R}).
Assim esses quatro E_{ij} geram M_{2,2} e são linearmente independentes, então formam uma base. Logo
\dim M_{2,2}=4.
Conclusão importante: qualquer base de M_{2,2} precisa ter exatamente 4 vetores.]
Passo 4
Contagem simples mostra problema com S.
O conjunto S tem apenas 2 vetores.
Como \dim M_{2,2}=4, qualquer base de M_{2,2} deve ter 4 vetores.
Portanto, por contagem, S não pode ser base de M_{2,2} (um conjunto com menos vetores do que a dimensão não pode gerar todo o espaço).
Passo 5
Mostro explicitamente que S não gera M_{2,2} (uma demonstração construtiva, útil na prova).
Considere a tentativa de escrever a matriz E_{11}=\begin{pmatrix}1&0\\[4pt]0&0\end{pmatrix} como combinação linear de I e P. Procure x,y\in\mathbb{R} tais que
xI+yP=\begin{pmatrix}1&0\\[4pt]0&0\end{pmatrix}.
Calcule o lado esquerdo:
xI+yP = x\begin{pmatrix}1&0\\[4pt]0&1\end{pmatrix} + y\begin{pmatrix}0&1\\[4pt]1&0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}x & y \\[4pt] y & x\end{pmatrix}.
Igualando entradas com \begin{pmatrix}1&0\\[4pt]0&0\end{pmatrix} dá o sistema
x=1,\quad y=0,\quad y=0,\quad x=0.
Esse sistema exige x=1 e x=0 simultaneamente, impossível. Logo não existem x,y que representem E_{11} como combinação linear de I e P.
Conclusão: E_{11}\not\in\operatorname{span}(S), então \operatorname{span}(S)\neq M_{2,2}. Em outras palavras, S não gera todo M_{2,2}.]
Passo 6
Observação adicional (didática): os vetores de S são linearmente independentes?
Se xI+yP=0 (matriz zero), então \begin{pmatrix}x & y\\[4pt] y & x\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&0\\[4pt]0&0\end{pmatrix}, logo x=0 e y=0. Portanto I e P são linearmente independentes.
Mesmo sendo independentes, são apenas 2 vetores: faltarão vetores para formar base de um espaço de dimensão 4. Assim independência sozinha não basta; falta geração.]
Resposta
S não é base de M_{2,2} porque \dim M_{2,2}=4 e S tem apenas 2 vetores, logo não pode gerar todo M_{2,2} (por exemplo, E_{11} não pertence a \operatorname{span}(S)).