Determine a(s) derivada(s) parcial(is) indicada(s).
f(x, y)=x^4 y^2-x^3 y ; fx u x, fx y x

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x,y)=x^4y^2-x^3y
e pede duas derivadas parciais de terceira ordem, a saber
fxxy e fxyx.
Aqui o conteúdo é cálculo de derivadas parciais sucessivas e uso do teorema de Clairaut para verificar que as derivadas mistas coincidem.

Passo 2

Primeiro calculamos fx=partial fpartial x.
Como
f(x,y)=x^4y^2-x^3y,
temos
partialpartial xl(x^4y^2r)=4x^3y^2, partialpartial xl(-x^3yr)=-3x^2y,
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fx=4x^3y^2-3x^2y

Passo 3

Agora calculamos fxx=partialpartial x(fx).
Derivando termo a termo:
partialpartial x(4x^3y^2)=12x^2y^2, partialpartial x(-3x^2y)=-6xy,
portanto
fxx=12x^2y^2-6xy

Passo 4

Em seguida obtemos fxxy=partialpartial y(fxx).
Derivando em relação a y:
partialpartial y(12x^2y^2)=24x^2y, partialpartial y(-6xy)=-6x,
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boxedfxxy=24x^2y-6x

Passo 5

Agora calculamos fxy=partialpartial y(fx).
De
fx=4x^3y^2-3x^2y
vem
partialpartial y(4x^3y^2)=8x^3y, partialpartial y(-3x^2y)=-3x^2,
então
fxy=8x^3y-3x^2

Passo 6

Finalmente obtemos fxyx=partialpartial x(fxy).
Derivando em relação a x:
partialpartial x(8x^3y)=24x^2y, partialpartial x(-3x^2)=-6x,
portanto
boxedfxyx=24x^2y-6x

Resposta

fxxy=24x^2y-6x
fxyx=24x^2y-6x

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