Determine a(s) derivada(s) parcial(is) indicada(s).
Passo 1
O enunciado pede a derivada parcial mista de terceira ordem
da função
. O conteúdo principal é derivada parcial de ordem superior, usando regra do produto e regra da cadeia para funções compostas.
Passo 2
Vamos primeiro calcular a derivada parcial de
em relação a
. A função é
, onde definimos
. Pela regra da cadeia temos:
Passo 3
Agora derivamos
em relação a
. Aplicando a regra do produto entre
e
:
Calculando cada parte:
Logo
Passo 4
Finalmente, derivamos
em relação a
. Denotemos
Para
Para
:
Somando as duas partes obtemos
Passo 5
Juntando tudo, fica:
Resposta
f_{xyz}(x,y,z)=\bigl(2z+6xy z{3}+2x{2}y{2}z{5}\bigr)e{xyz{2}}