Determine a(s) derivada(s) parcial(is) indicada(s).
f(x, y, z)=e^x v z^2 ; fx y z

Passo 1

O enunciado pede a derivada parcial mista de terceira ordem fxyz da função f(x,y,z)=e^xyz^2. O conteúdo principal é derivada parcial de ordem superior, usando regra do produto e regra da cadeia para funções compostas.

Passo 2

Vamos primeiro calcular a derivada parcial de f em relação a x. A função é f(x,y,z)=e^E, onde definimos E=xyz^2. Pela regra da cadeia temos:
fx=partialpartial xe^E=e^Ecdotpartial Epartial x=e^xyz^2cdot(yz^2)=yz^2e^xyz^2

Passo 3

Agora derivamos fx=yz^2e^xyz^2 em relação a y. Aplicando a regra do produto entre yz^2 e e^xyz^2:
fxy=partialpartial y(yz^2)e^xyz^2 + yz^2partialpartial ye^xyz^2
Calculando cada parte:
partialpartial y(yz^2)=z^2, partialpartial ye^xyz^2=e^xyz^2cdot(xz^2)
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fxy=z^2e^xyz^2 + yz^2cdot(xz^2)e^xyz^2=(z^2 + xyz^4)e^xyz^2

Passo 4

Finalmente, derivamos fxy=(z^2 + xyz^4)e^xyz^2 em relação a z. Denotemos
A=z^2e^E, B=xyz^4e^E, E=xyz^2
Para A:
dAdz=2z e^E + z^2 e^Ecdot(2xyz)=2z e^xyz^2 + 2xy z^3 e^xyz^2
Para B:
dBdz=xyl(4z^3 e^E + z^4 e^Ecdot(2xyz)r)=4xy z^3 e^xyz^2 + 2x^2y^2z^5 e^xyz^2
Somando as duas partes obtemos fxyz.

Passo 5

Juntando tudo, fica:
fxyz=(2z + 2xy z^3 + 4xy z^3 + 2x^2y^2z^5)e^xyz^2=(2z + 6xy z^3 + 2x^2y^2z^5)e^xyz^2

Resposta

f_{xyz}(x,y,z)=\bigl(2z+6xy z{3}+2x{2}y{2}z{5}\bigr)e{xyz{2}}

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