Determine a(s) derivada(s) parcial(is) indicada(s).
f(x, y)=sen(2 x+5 y) ; fxxy

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada mista
fxxy
da função
f(x,y)=senl(2x+5yr)
Aqui usamos derivadas parciais e, em cada passo, a regra da cadeia: se g(u)=sen(u) então g'(u)=cos(u), e se u=h(x,y) então partialx,sen(h)=cos(h),partialx h.

Passo 2

Primeiro calculamos
fx=partialxsenl(2x+5yr)
Aplicando a regra da cadeia, tratando y como constante, temos
fx = cosl(2x+5yr)cdotpartialpartial x(2x+5y) = cosl(2x+5yr)cdot 2 = 2cosl(2x+5yr)

Passo 3

Agora derivamos novamente em x para obter
fxx=partialx(2cos(2x+5y))
Ainda pela regra da cadeia,
fxx =2l(-sen(2x+5y)r)cdotpartialpartial x(2x+5y) =2l(-sen(2x+5y)r)cdot 2 =-4senl(2x+5yr)

Passo 4

Por fim, derivamos fxx em y para obter
fxxy=partialyl(-4sen(2x+5y)r)
Aplicando a regra da cadeia, agora tratamos x como constante:
fxxy =-4cosl(2x+5yr)cdotpartialpartial y(2x+5y) =-4cosl(2x+5yr)cdot 5 =-20cosl(2x+5yr)

Resposta

boxedfxxy(x,y) = -20cosl(2x+5yr)

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