Exercício 9. Derive as seguintes funções
f(x)=5^x (Dica: 5=e^ln (5) )

Passo 1

O enunciado nos pede a derivada de f(x)=5^x. O conteúdo é derivação de função exponencial de base fixa diferente de e. Para isso, vamos usar a expressão de mudança de base 5=e^ln 5 e a regra da cadeia.

Passo 2

Usamos 5=e^ln 5 para reescrever
f(x)=5^x=(e^ln 5)^x=e^xln 5

Passo 3

Aplicamos a regra da cadeia à função g(x)=e^u(x), cuja derivada é g'(x)=u'(x)e^u(x). Aqui, u(x)=xln 5, logo u'(x)=ln 5. Assim,
f'(x)=(xln 5)'e^xln 5=ln 5,e^xln 5

Passo 4

Voltando à base 5, temos e^xln 5=5^x. Portanto,
f'(x)=ln 5cdot5^x

Resposta

f'(x)=5^xln 5

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