Determine a(s) derivada(s) parcial(is) indicada(s).
f(x, y, z)=e^{x y z^{2}} ; \quad f_{y z}

Passo 1

O enunciado nos dá a função
f(x,y,z)=e^{x\,y\,z^{2}}
e pede a derivada parcial mista f_{yz}. O conteúdo envolvido é aplicação da regra da cadeia para derivadas parciais e, no segundo passo, a regra do produto para diferenciar em relação a z.

Passo 2

Primeiro calculamos
f_{y}=\frac{\partial}{\partial y}e^{x\,y\,z^{2}}.
Pela regra da cadeia, a derivada de e^{u} é e^{u}\cdot u'. Aqui u=x\,y\,z^{2}, logo
u'_{y}=\frac{\partial}{\partial y}(x\,y\,z^{2})=x\,z^{2}.
Portanto
f_{y}=e^{x\,y\,z^{2}}\cdot x\,z^{2}.

Passo 3

Agora calculamos
f_{yz}=\frac{\partial}{\partial z}\bigl(x\,z^{2}e^{x\,y\,z^{2}}\bigr).
Usamos a regra do produto em x\,z^{2} e e^{x\,y\,z^{2}}.
  1. Derivada de x\,z^{2} em relação a z é 2x\,z.
  2. Derivada de e^{x\,y\,z^{2}} em relação a z é, pela regra da cadeia,
e^{x\,y\,z^{2}}\cdot\frac{\partial}{\partial z}(x\,y\,z^{2}) =e^{x\,y\,z^{2}}\cdot(2\,x\,y\,z).
Combinando:
f_{yz} =2x\,z\,e^{x\,y\,z^{2}} \;+\;x\,z^{2}\bigl(e^{x\,y\,z^{2}}\cdot 2x\,y\,z\bigr).
Fatorando 2x\,z\,e^{x\,y\,z^{2}}, obtemos
f_{yz} =2x\,z\,e^{x\,y\,z^{2}}\bigl(1 + x\,y\,z^{2}\bigr).

Resposta

f_{yz}(x,y,z) =2\,x\,z\,e^{x\,y\,z^{2}}\bigl(1 + x\,y\,z^{2}\bigr).

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