Determine a(s) derivada(s) parcial(is) indicada(s).
f(x, y)=\operatorname{sen}(2 x+5 y) ; \quad f_{y y}

Passo 1

O enunciado nos dá a função
f(x,y)=\operatorname{sen}\bigl(2x+5y\bigr)
e pede a segunda derivada parcial em relação a y, isto é, f_{yy}. Vamos usar a definição de derivada parcial e a regra da cadeia.

Passo 2

Primeiro, calculamos a derivada parcial de primeira ordem em y. Defina
u(x,y)=2x+5y.
Então
\frac{\partial u}{\partial y}=5
e, como \frac{d}{du}\operatorname{sen}(u)=\cos(u), pela regra da cadeia temos
f_{y}=\frac{\partial}{\partial y}\operatorname{sen}\bigl(u(x,y)\bigr) =\cos\bigl(u(x,y)\bigr)\,\frac{\partial u}{\partial y} =5\cos\bigl(2x+5y\bigr).

Passo 3

Agora derivamos f_{y}=5\cos(2x+5y) novamente em relação a y. Note que
\frac{d}{du}\cos(u)=-\operatorname{sen}(u),
e ainda \partial u/\partial y=5. Logo,
f_{yy} =\frac{\partial}{\partial y}\bigl[5\cos(2x+5y)\bigr] =5\bigl(-\operatorname{sen}(2x+5y)\bigr)\,\frac{\partial}{\partial y}(2x+5y) =-5\operatorname{sen}(2x+5y)\cdot5 =-25\operatorname{sen}(2x+5y).

Resposta

f_{yy}(x,y)=-25\operatorname{sen}\bigl(2x+5y\bigr).

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