Utilize os multiplicadores de Lagrange para determinar os valores máximo e mínimo da função sujeita a(s) restrição(ões) dada(s).
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Passo 1
O enunciado pede: determinar os valores máximo e mínimo da função sujeita à restrição dada.
Informações fornecidas:
Informações fornecidas:
Portanto, queremos os pontos
sobre a circunferência
, onde
atinge seu valor máximo e seu valor mínimo, e também os valores numéricos desses extremos.
Passo 2
Ideia dos multiplicadores de Lagrange (explicação didática): quando queremos otimizar uma função
sujeita a uma restrição
, os pontos extremos internos à curva de restrição ocorrem quando os vetores gradiente de
e de
são proporcionais. O gradiente de uma função dá a direção de maior crescimento; se estivermos forçados a nos mover ao longo da curva
, no extremo não podemos aumentar
seguindo a curva, então a direção de maior crescimento de
deve ser perpendicular à curva — e isso significa que
é múltiplo de
.
Formalmente, existe
(multiplicador) tal que
Aqui definimos a função de restrição
para que a restrição seja
.
Agora calculemos os gradientes:
A condição de Lagrange fica
Passo 3
Escrevendo o sistema componente a componente, temos
e a restrição
Esse é o sistema que vamos resolver.
Passo 4
Isolamos
e
em função de
a partir das duas primeiras equações:
Substituímos essas expressões na restrição:
Calculemos o lado esquerdo:
Logo
Dividindo ambos os lados por
,
Então
Assim
Passo 5
Agora encontramos os pontos correspondentes a cada
.
Para
:
Verificação rápida:
, satisfaz a restrição.
O valor de neste ponto é
O valor de
Para
:
Verificação:
, OK.
O valor de neste ponto é
O valor de
Passo 6
Interpretação e conclusão: como a restrição é uma circunferência compacta e
é contínua, os extremos existem. Encontramos dois pontos críticos pela condição de Lagrange:
com
e
com
. Pelo cálculo,
é o máximo e
é o mínimo sobre a circunferência.
Resposta
Máximo:
em
Mínimo: em
Mínimo: