Utilize os multiplicadores de Lagrange para determinar os valores máximo e mínimo da função sujeita a(s) restrição(ões) dada(s).
f(x, y)=3 x+y ; x^{2}+y^{2}=10 Entregar

Passo 1

O enunciado pede: determinar os valores máximo e mínimo da função sujeita à restrição dada.
Informações fornecidas:
f(x,y)=3x+y
x^{2}+y^{2}=10
Portanto, queremos os pontos (x,y) sobre a circunferência \,x^{2}+y^{2}=10, onde f atinge seu valor máximo e seu valor mínimo, e também os valores numéricos desses extremos.

Passo 2

Ideia dos multiplicadores de Lagrange (explicação didática): quando queremos otimizar uma função f(x,y) sujeita a uma restrição g(x,y)=0, os pontos extremos internos à curva de restrição ocorrem quando os vetores gradiente de f e de g são proporcionais. O gradiente de uma função dá a direção de maior crescimento; se estivermos forçados a nos mover ao longo da curva g(x,y)=0, no extremo não podemos aumentar f seguindo a curva, então a direção de maior crescimento de f deve ser perpendicular à curva — e isso significa que \nabla f é múltiplo de \nabla g.
Formalmente, existe \lambda (multiplicador) tal que
\nabla f(x,y)=\lambda\,\nabla g(x,y).
Aqui definimos a função de restrição
g(x,y)=x^{2}+y^{2}-10,
para que a restrição seja g(x,y)=0.
Agora calculemos os gradientes:
\nabla f(x,y)=\left(\frac{\partial f}{\partial x},\frac{\partial f}{\partial y}\right)=(3,1),
\nabla g(x,y)=\left(\frac{\partial g}{\partial x},\frac{\partial g}{\partial y}\right)=(2x,2y).
A condição de Lagrange fica
(3,1)=\lambda(2x,2y).

Passo 3

Escrevendo o sistema componente a componente, temos
3=2\lambda x,
1=2\lambda y,
e a restrição
x^{2}+y^{2}=10.
Esse é o sistema que vamos resolver.

Passo 4

Isolamos x e y em função de \lambda a partir das duas primeiras equações:
x=\frac{3}{2\lambda},
y=\frac{1}{2\lambda}.
Substituímos essas expressões na restrição:
\left(\frac{3}{2\lambda}\right)^{2}+\left(\frac{1}{2\lambda}\right)^{2}=10.
Calculemos o lado esquerdo:
\frac{9}{4\lambda^{2}}+\frac{1}{4\lambda^{2}}=\frac{9+1}{4\lambda^{2}}=\frac{10}{4\lambda^{2}}.
Logo
\frac{10}{4\lambda^{2}}=10.
Dividindo ambos os lados por 10,
\frac{1}{4\lambda^{2}}=1.
Então
4\lambda^{2}=1\quad\Rightarrow\quad \lambda^{2}=\frac{1}{4}.
Assim
\lambda=\pm\frac{1}{2}.

Passo 5

Agora encontramos os pontos correspondentes a cada \lambda.
Para \lambda=\frac{1}{2}:
x=\frac{3}{2\cdot\frac{1}{2}}=\frac{3}{1}=3,
y=\frac{1}{2\cdot\frac{1}{2}}=\frac{1}{1}=1.
Verificação rápida: 3^{2}+1^{2}=9+1=10, satisfaz a restrição.
O valor de f neste ponto é
f(3,1)=3\cdot 3+1=9+1=10.
Para \lambda=-\frac{1}{2}:
x=\frac{3}{2\cdot\left(-\frac{1}{2}\right)}=\frac{3}{-1}=-3,
y=\frac{1}{2\cdot\left(-\frac{1}{2}\right)}=\frac{1}{-1}=-1.
Verificação: (-3)^{2}+(-1)^{2}=9+1=10, OK.
O valor de f neste ponto é
f(-3,-1)=3\cdot(-3)+(-1)=-9-1=-10.

Passo 6

Interpretação e conclusão: como a restrição é uma circunferência compacta e f é contínua, os extremos existem. Encontramos dois pontos críticos pela condição de Lagrange: (3,1) com f=10 e (-3,-1) com f=-10. Pelo cálculo, f(3,1)=10 é o máximo e f(-3,-1)=-10 é o mínimo sobre a circunferência.

Resposta

Máximo: f_{\max}=10 em (3,1)
Mínimo: f_{\min}=-10 em (-3,-1)

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