Encontre uma base para:
\left{(x, y, z, w) \in \mathbb{R}^{4}: x+y-w=0\right}

Passo 1

O enunciado pede uma base do subespaço
S = \{(x,y,z,w)\in\mathbb{R}^4 \mid x + y - w = 0\}.
Aqui o conteúdo é subespaço definido por uma única equação linear em \mathbb{R}^4. Para achar uma base, vamos expressar o vetor genérico de S em termos de variáveis livres.

Passo 2

Da equação
x + y - w = 0
segue
x = -\,y + w.
Escolhemos y = s, z = t e w = u como parâmetros livres em \mathbb{R}. Assim o vetor genérico de S é
(x,y,z,w) = (-s + u,\; s,\; t,\; u).

Passo 3

Reescrevendo em função de s,t,u, temos
(x,y,z,w) = s\,(-1,1,0,0) \;+\; t\,(0,0,1,0)\;+\; u\,(1,0,0,1).
Os vetores
v_1 = (-1,1,0,0),\quad v_2 = (0,0,1,0),\quad v_3 = (1,0,0,1)
são linearmente independentes e geram S, logo constituem uma base de S.

Resposta

Uma base de S é
\{\,(-1,1,0,0),\;(0,0,1,0),\;(1,0,0,1)\}.

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