Encontre uma base para:
\left{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3}: x=5 y\right.e\left.z=-2 y\right}

Passo 1

O enunciado pede para encontrarmos uma base do subespaço de \mathbb{R}^3 definido pelas equações lineares x = 5y e z = -2y. O conteúdo envolve subespaços vetoriais e como obter uma base a partir de uma representação paramétrica.

Passo 2

Para parametrizar o subespaço, note que y pode ser tratado como parâmetro livre. Seja y = t, com t \in \mathbb{R}. Então as equações definem os componentes de um vetor genérico (x,y,z) como
x = 5t,\quad y = t,\quad z = -2t.
Isso pode ser escrito em forma vetorial:
(x,y,z) = t\,(5,1,-2).

Passo 3

Da expressão (x,y,z) = t\,(5,1,-2), vemos que todos os vetores do subespaço são múltiplos escalares de (5,1,-2). Como esse vetor é não-nulo, ele forma um conjunto linearmente independente que gera o subespaço. Portanto, uma base do subespaço é \{(5,1,-2)\}.

Resposta

\{(5,1,-2)\}

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