Encontre uma base para:
\left{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3}: x=5 y\right.e\left.z=-2 y\right}
\left{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3}: x=5 y\right.e\left.z=-2 y\right}
Passo 1
O enunciado pede para encontrarmos uma base do subespaço de
definido pelas equações lineares
e
. O conteúdo envolve subespaços vetoriais e como obter uma base a partir de uma representação paramétrica.
Passo 2
Para parametrizar o subespaço, note que
pode ser tratado como parâmetro livre. Seja
, com
. Então as equações definem os componentes de um vetor genérico
como
Isso pode ser escrito em forma vetorial:
Passo 3
Da expressão
, vemos que todos os vetores do subespaço são múltiplos escalares de
. Como esse vetor é não-nulo, ele forma um conjunto linearmente independente que gera o subespaço. Portanto, uma base do subespaço é
.