Determine o(s) ponto(s) crítico(s) e os intervalos de crescimento e decrescimento de cada função a seguir.
f(x)=sen^2 x

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os pontos críticos e os intervalos de crescimento e decrescimento da função f(x) = sin^2x . Para isso, vamos usar cálculo diferencial, especificamente derivadas, para analisar o comportamento da função.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada da função f(x) = sin^2x . A derivada nos ajuda a entender como a função está mudando em cada ponto.
Usamos a regra da cadeia para derivar sin^2x :
f'(x) = 2 sin x cdot cos x
Mas, podemos simplificar isso usando a identidade trigonométrica sin 2x = 2 sin x cos x :
f'(x) = sin 2x

Passo 3

Agora, vamos encontrar os pontos críticos. Pontos críticos ocorrem onde a derivada é zero ou não está definida. Neste caso, a derivada f'(x) = sin 2x está sempre definida, então vamos achar onde ela é igual a zero:
sin 2x = 0
Sabemos que sin theta = 0 quando theta = npi , onde n é um inteiro. Então:
2x = npi Rightarrow x = npi2
Portanto, os pontos críticos são todos os múltiplos de pi2 .

Passo 4

Agora, vamos determinar onde a função está crescendo e decrescendo. Para isso, analisamos o sinal da derivada f'(x) = sin 2x :
  • Quando sin 2x > 0 , a função está crescendo.
  • Quando sin 2x < 0 , a função está decrescendo.
Vamos dividir o intervalo dos x em intervalos onde o sinal da derivada não muda.

Passo 5

Vamos considerar o ciclo da função seno, que se repete a cada pi . Observando sin 2x :
  • De x = 0 a x = pi2 , sin 2x vai de 0 a 1 (positivo), então a função está crescendo.
  • De x = pi2 a x = pi , sin 2x vai de 1 a 0 (positivo) e depois a 0 para -1 (negativo), então a função começa crescendo e depois decrescendo.
  • Esse padrão se repete a cada pi .

Passo 6

Resumindo, os intervalos de crescimento e decrescimento da função f(x) = sin^2x são:
  • Crescendo: Em intervalos onde sin 2x > 0 , ou seja, de x = 0 + kpi a x = pi2 + kpi , onde k é um inteiro.
  • Decrescendo: Em intervalos onde sin 2x < 0 , ou seja, de x = pi2 + kpi a x = pi + kpi , onde k é um inteiro.

Resposta

Os pontos críticos da função f(x) = sin^2x são x = npi2 para todo inteiro n . A função está crescendo nos intervalos ( npi2, (n+1)pi2 ) quando n é par, e decrescendo quando n é ímpar. Portanto:
  • Crescimento: ( 0 + kpi, pi2 + kpi ) para todo inteiro k .
  • Decrescimento: ( pi2 + kpi, pi + kpi ) para todo inteiro k .

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