Determine o(s) ponto(s) crítico(s) e os intervalos de crescimento e decrescimento de cada função a seguir.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os pontos críticos e os intervalos de crescimento e decrescimento da função
. Para isso, vamos usar cálculo diferencial, especificamente derivadas, para analisar o comportamento da função.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada da função
. A derivada nos ajuda a entender como a função está mudando em cada ponto.
Usamos a regra da cadeia para derivar
:
Mas, podemos simplificar isso usando a identidade trigonométrica
:
Passo 3
Agora, vamos encontrar os pontos críticos. Pontos críticos ocorrem onde a derivada é zero ou não está definida. Neste caso, a derivada
está sempre definida, então vamos achar onde ela é igual a zero:
Sabemos que
quando
, onde
é um inteiro. Então:
Portanto, os pontos críticos são todos os múltiplos de
.
Passo 4
Agora, vamos determinar onde a função está crescendo e decrescendo. Para isso, analisamos o sinal da derivada
:
- Quando
, a função está crescendo. - Quando
, a função está decrescendo.
Vamos dividir o intervalo dos
em intervalos onde o sinal da derivada não muda.
Passo 5
Vamos considerar o ciclo da função seno, que se repete a cada
. Observando
:
- De
a , vai de 0 a 1 (positivo), então a função está crescendo. - De
a , vai de 1 a 0 (positivo) e depois a 0 para -1 (negativo), então a função começa crescendo e depois decrescendo. - Esse padrão se repete a cada
.
Passo 6
Resumindo, os intervalos de crescimento e decrescimento da função
são:
- Crescendo: Em intervalos onde
, ou seja, de a , onde é um inteiro. - Decrescendo: Em intervalos onde
, ou seja, de a , onde é um inteiro.
Resposta
Os pontos críticos da função
são
para todo inteiro
. A função está crescendo nos intervalos
quando
é par, e decrescendo quando
é ímpar. Portanto:
- Crescimento:
para todo inteiro . - Decrescimento:
para todo inteiro .