Determine o(s) ponto(s) crítico(s) e os intervalos de crescimento e decrescimento de cada função a seguir.
f(x)=-4 x^2-7 x+5

Passo 1

O enunciado nos dá a função f(x)=-4x^2-7x+5 (uma parábola voltada para baixo) e pede os pontos críticos e os intervalos de crescimento e decrescimento. Vamos usar a derivada primeira para encontrar esses elementos.

Passo 2

Para encontrar a derivada de ;f(x), derivamos termo a termo:
  • a derivada de -4x^2 é -8x,
  • a derivada de -7x é -7,
  • a derivada de 5 é 0.
f'(x) = -8x - 7

Passo 3

Os pontos críticos são as soluções de f'(x)=0, lembrando que f' está definida para todo x. Resolvendo
-8x - 7 = 0 Longrightarrow x = -tfrac78
O valor da função nesse ponto é
fl(-tfrac78r) = -4l(-tfrac78r)^2 -7l(-tfrac78r) +5 = 12916

Passo 4

Para determinar os intervalos, analisamos o sinal de
;f'(x) = -8x - 7:
  • Se x < -tfrac78, então -8x -7 >0, logo f cresce.
  • Se x > -tfrac78, então -8x -7 <0, logo f decresce.

Resposta

Ponto crítico: l(-tfrac78, tfrac12916r).
f cresce em (-infty, -tfrac78) e decresce em (-tfrac78, infty).

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