1. Determine o(s) ponto(s) da curva x=cos t, y=sen t, z=sen(t / 2) mais distante(s) da origem.

Passo 1

O enunciado dá a curva parametrizada em R^3:
x=cos t, y=sin t, z=sin!l(tfrac t2r),
e pede os pontos dela que estão mais distantes da origem. O conteúdo é otimização de função de parâmetro: vamos usar a distância (ao quadrado) da origem e maximizar essa função de t.

Passo 2

A distância ao quadrado de um ponto (x,y,z) à origem é
d^2(t)=x^2+y^2+z^2
Substituindo a parametrização:
d^2(t)=cos^2t+sin^2t+sin^2!l(tfrac t2r) =1+sin^2!l(tfrac t2r),
pois cos^2t+sin^2t=1.

Passo 3

Para maximizar d^2(t)=1+sin^2(tfrac t2) basta maximizar sin^2(tfrac t2). O valor máximo de sin^2 é 1, obtido quando
sin!l(tfrac t2r)=pm1 Longrightarrow tfrac t2=tfracpi2+kpi Longrightarrow t=pi+2kpi, kinZ

Passo 4

Nos valores t=pi+2kpi temos
x=cos t=cos(pi+2kpi)=-1, y=sin t=sin(pi+2kpi)=0,
e
z=sin!l(tfrac t2r) =sin!l(tfracpi+2kpi2r) =sin!l(tfracpi2+kpir) =(-1)^k
Logo todos os pontos de máximo são
(-1,,0,,(-1)^k), kinZ,
que, em valores distintos, são (-1,0,1) e (-1,0,-1).

Resposta

Os pontos da curva mais distantes da origem são
(-1,0,1) e (-1,0,-1),
com distância raiz2.

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