Quais das funções seguintes tem um máximo ou mínimo em todo plano R^2 ?
z=e^x^2-y^2

Passo 1

O enunciado pede para a gente verificar se a função
z = e^x^2 - y^2
possui algum máximo ou mínimo global em R^2. O conteúdo aqui é estudar extremos de funções de duas variáveis, usando derivadas parciais para achar pontos críticos, classificar com a Hessiana e ainda analisar o comportamento da função no “infinito” para ver se existem cotas superior ou inferior.

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais e igualamos a zero para achar pontos críticos.
fx = partialpartial xe^x^2 - y^2 = 2x,e^x^2 - y^2, fy = partialpartial ye^x^2 - y^2 = -2y,e^x^2 - y^2
Para fx=0 precisamos de x=0. Para fy=0 precisamos de y=0.
Logo, o único ponto crítico é (0,0).

Passo 3

Vamos classificar (0,0) usando a Hessiana:
fxx = partialpartial x(2x,e^x^2-y^2) = 2e^x^2-y^2+4x^2e^x^2-y^2, fyy = -2e^x^2-y^2+4y^2e^x^2-y^2,
fxy = partialpartial y(2x,e^x^2-y^2) = -4xy,e^x^2-y^2
Em (0,0) isso vira
fxx(0,0)=2, fyy(0,0)=-2, fxy(0,0)=0
O determinante da Hessiana é
D = fxxfyy-fxy^2 = (2)(-2)-0 = -4 < 0,
portanto (0,0) é ponto de sela, sem máximo nem mínimo local.

Passo 4

Para ver se há extremo global, examinamos o comportamento quando |(x,y)|toinfty.
  • Se aumentarmos x e mantivermos y fixo, x^2 - y^2to +infty e logo zto +infty.
  • Se aumentarmos y e mantivermos x fixo, x^2 - y^2to -infty e então zto 0^+.
Ou seja, não existe cota superior (vai a +infty) nem mínimo atingido (o ínfimo é 0, mas nunca chega a zero).

Resposta

A função z=e^x^2-y^2 não possui nem máximo nem mínimo em R^2.

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