Quais das funções seguintes tem um máximo ou mínimo em todo plano
?
Passo 1
O enunciado pede para a gente verificar se a função
possui algum máximo ou mínimo global em
. O conteúdo aqui é estudar extremos de funções de duas variáveis, usando derivadas parciais para achar pontos críticos, classificar com a Hessiana e ainda analisar o comportamento da função no “infinito” para ver se existem cotas superior ou inferior.
Passo 2
Calculamos as derivadas parciais e igualamos a zero para achar pontos críticos.
Para
precisamos de
. Para
precisamos de
.
Logo, o único ponto crítico é .
Logo, o único ponto crítico é
Passo 3
Vamos classificar
usando a Hessiana:
Em
isso vira
O determinante da Hessiana é
portanto
é ponto de sela, sem máximo nem mínimo local.
Passo 4
Para ver se há extremo global, examinamos o comportamento quando
.
- Se aumentarmos
e mantivermos fixo, e logo . - Se aumentarmos
e mantivermos fixo, e então .
Ou seja, não existe cota superior (vai a
) nem mínimo atingido (o ínfimo é
, mas nunca chega a zero).
Resposta
A função
não possui nem máximo nem mínimo em
.