Quais das funções seguintes tem um máximo ou mínimo em todo plano R^2 ?
z=e^-x^2-y^2

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a função
z = e^-x^2-y^2
possui máximos ou mínimos globais no plano R^2.
Conteúdo: estudo de extremos de funções de duas variáveis usando derivadas parciais, pontos críticos e matriz Hessiana.

Passo 2

Calcular o gradiente de z e achar pontos críticos.
A derivada parcial em relação a x é
partial zpartial x = -2x,e^-x^2-y^2,
e em relação a y é
partial zpartial y = -2y,e^-x^2-y^2
Para pontos críticos, igualamos ambas a zero:
-2x,e^-x^2-y^2 = 0, -2y,e^-x^2-y^2 = 0
Como e^-x^2-y^2>0 para todo (x,y), segue x=0 e y=0.
Logo há um único ponto crítico em (0,0).

Passo 3

Calcular a matriz Hessiana em (0,0) e classificar o ponto crítico.
As segundas derivadas são
partial^2zpartial x^2 = e^-x^2-y^2(4x^2-2), partial^2zpartial y^2 = e^-x^2-y^2(4y^2-2),
partial^2zpartial xpartial y = 4xy,e^-x^2-y^2
Em (0,0) temos
zxx(0,0) = -2, zyy(0,0) = -2, zxy(0,0) = 0
O determinante da Hessiana é
D = zxx(0,0),zyy(0,0) - l(zxy(0,0)r)^2 = (-2)(-2) - 0 = 4 > 0
Como D>0 e zxx(0,0)<0, o ponto (0,0) é um máximo local.

Passo 4

Verificar se é máximo global e se existe mínimo global.
Note que
z(0,0) = e^0 = 1,
e para |(x,y)|toinfty vale z(x,y)to0.
Portanto z(0,0)=1 é o máximo global, e o ínfimo de z é 0 (não alcançado), logo não há mínimo global.

Resposta

A função z=e^-x^2-y^2 tem máximo global z(0,0)=1 em (0,0) e não possui mínimo global.

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