Quais das funções seguintes tem um máximo ou mínimo em todo plano
?
Passo 1
O enunciado pede para verificar se a função
possui máximos ou mínimos globais no plano
.
Conteúdo: estudo de extremos de funções de duas variáveis usando derivadas parciais, pontos críticos e matriz Hessiana.
Conteúdo: estudo de extremos de funções de duas variáveis usando derivadas parciais, pontos críticos e matriz Hessiana.
Passo 2
Calcular o gradiente de
e achar pontos críticos.
A derivada parcial em relação a é
A derivada parcial em relação a
e em relação a
é
Para pontos críticos, igualamos ambas a zero:
Como
para todo
, segue
e
.
Logo há um único ponto crítico em .
Logo há um único ponto crítico em
Passo 3
Calcular a matriz Hessiana em
e classificar o ponto crítico.
As segundas derivadas são
As segundas derivadas são
Em
temos
O determinante da Hessiana é
Como
e
, o ponto
é um máximo local.
Passo 4
Verificar se é máximo global e se existe mínimo global.
Note que
Note que
e para
vale
.
Portanto é o máximo global, e o ínfimo de
é
(não alcançado), logo não há mínimo global.
Portanto
Resposta
A função
tem máximo global
em
e não possui mínimo global.