1. integral 2 ln x+1x[(ln x)^2+ln x] d x

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral
integral 2ln x + 1xl[(ln x)^2 + ln xr],dx
O conteúdo principal é usar mudança de variável (substituição) aproveitando que a derivada de (ln x)^2 + ln x aparece no numerador.

Passo 2

Definimos a substituição
u = (ln x)^2 + ln x
Isso faz sentido porque, ao derivar u em relação a x, aparecerá exatamente o fator 2ln x +1 multiplicado por 1/x.

Passo 3

Calculamos o diferencial du:
du = ddxl[(ln x)^2 + ln xr],dx = l(2ln xcdot1x + 1xr)dx = 2ln x +1x,dx
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2ln x +1x,dx = du

Passo 4

Substituindo na integral original, temos
integral 2ln x +1xl[(ln x)^2 + ln xr],dx = integral duu
E sabemos que
integral duu = lnlvert urvert + C

Passo 5

Voltando à variável x, substituímos u = (ln x)^2 + ln x para obter a primitiva:
lnllvert(ln x)^2 + ln xrrvert + C

Resposta

lnllvert(ln x)^2 + ln xrrvert + C

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