Quais das funções seguintes tem um máximo ou mínimo em todo plano
?
.
Passo 1
O enunciado descreve a função
definida em
, e pergunta se ela tem ponto de máximo ou mínimo global. Vamos usar o fato de que, para cada
fixo, isto é uma parábola em
com coeficiente positivo em
.
Passo 2
Para cada
consideramos
Como o coeficiente de
é
, a parábola abre para cima, logo não há máximo em
, apenas um mínimo obtido ao anular a derivada em
:
Passo 3
Substituindo
achamos o valor mínimo em função de
:
isto é,
Passo 4
Agora analisamos a função unidimensional
Sabemos que
Assim
Passo 5
Concluímos que:
- Conforme
, , logo não há máximo global. - O mínimo global é
atingido sempre que
e
. Ou seja, por exemplo em
com
.
Resposta
A função não tem máximo global em
e tem mínimo global igual a
, obtido nos pontos acima.