Quais das funções seguintes tem um máximo ou mínimo em todo plano R^2 ?
z=x^2-2 x(sen y+cos y).

Passo 1

O enunciado descreve a função
z(x,y)=x^2-2,xl(sin y+cos yr)
definida em R^2, e pergunta se ela tem ponto de máximo ou mínimo global. Vamos usar o fato de que, para cada y fixo, isto é uma parábola em x com coeficiente positivo em x^2.

Passo 2

Para cada y consideramos
z(x,y)=x^2-2,x,A,onde A=sin y+cos y
Como o coeficiente de x^2 é 1>0, a parábola abre para cima, logo não há máximo em x, apenas um mínimo obtido ao anular a derivada em x:
partial zpartial x=2x-2A=0 Longrightarrow x=A

Passo 3

Substituindo x=A achamos o valor mínimo em função de y:
zmin(y)=A^2-2Acdot A = -A^2,
isto é,
zmin(y) = -l(sin y+cos yr)^2

Passo 4

Agora analisamos a função unidimensional
h(y)=-l(sin y+cos yr)^2
Sabemos que
-,raiz2<= sin y+cos y<= raiz2 Longrightarrow 0<= (sin y+cos y)^2<= 2
Assim
-2<= h(y)<= 0

Passo 5

Concluímos que:
  • Conforme xtopminfty, z(x,y)to +infty, logo não há máximo global.
  • O mínimo global é
inf(x,y)inR^2 z(x,y) = -2,
atingido sempre que sin y+cos y=pmraiz2 e x=sin y+cos y. Ou seja, por exemplo em
(y,x)=l(tfracpi4+2pi k,;raiz2r) ou (y,x)=l(tfrac5pi4+2pi k,;-raiz2r),
com kinZ.

Resposta

A função não tem máximo global em R^2 e tem mínimo global igual a -2, obtido nos pontos acima.

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