Determine se S é um subespaço vetorial de V nos seguintes casos:
V=Mn times n(R) e .

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o conjunto
S={A\in M_{n\times n}(\mathbb{R}):\operatorname{tr}A=0}
é subespaço vetorial de V=M_{n\times n}(\mathbb{R}).
O conteúdo é o conceito de subespaço: precisamos mostrar que S não é vazio (contém o vetor zero) e que é fechado sob soma e multiplicação por escalar. Para isso usamos a linearidade da função traço.

Passo 2

Primeiro, mostramos que a matriz zero pertence a S. Seja O a matriz nula em M_{n\times n}(\mathbb{R}). Como todos os elementos da diagonal de O são zero, temos
tr(O)=0+0+cdots+0=0
Logo, O satisfaz tr(O)=0 e, portanto, Oin S.

Passo 3

Agora, verificamos fechamento sob soma. Sejam A,Bin S, então tr(A)=0 e tr(B)=0. Pela linearidade da traço, vale
tr(A+B)=tr(A)+tr(B)=0+0=0
Logo, A+Bin S.

Passo 4

Por fim, verificamos fechamento sob multiplicação por escalar. Seja Ain S e cinR. Como tr(A)=0, temos
tr(cA)=c,tr(A)=ccdot0=0
Portanto, cAin S.

Resposta

Sim, S é um subespaço vetorial de V.

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