Determine se S é um subespaço vetorial de V nos seguintes casos:
e
.
Passo 1
O enunciado pede para verificar se o conjunto
S={A\in M_{n\times n}(\mathbb{R}):\operatorname{tr}A=0}
é subespaço vetorial de V=M_{n\times n}(\mathbb{R}).
S={A\in M_{n\times n}(\mathbb{R}):\operatorname{tr}A=0}
é subespaço vetorial de V=M_{n\times n}(\mathbb{R}).
O conteúdo é o conceito de subespaço: precisamos mostrar que S não é vazio (contém o vetor zero) e que é fechado sob soma e multiplicação por escalar. Para isso usamos a linearidade da função traço.
Passo 2
Primeiro, mostramos que a matriz zero pertence a S. Seja O a matriz nula em M_{n\times n}(\mathbb{R}). Como todos os elementos da diagonal de O são zero, temos
Logo, O satisfaz
e, portanto,
.
Passo 3
Agora, verificamos fechamento sob soma. Sejam
, então
e
. Pela linearidade da traço, vale
Logo,
.
Passo 4
Por fim, verificamos fechamento sob multiplicação por escalar. Seja
e
. Como
, temos
Portanto,
.
Resposta
Sim, S é um subespaço vetorial de V.