Determine se S é um subespaço vetorial de V nos seguintes casos:
V=Mn times n(R) e .

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o conjunto
S = {A ∈ M_{n×n}(ℝ): det A = 0} é subespaço de V = M_{n×n}(ℝ). Vamos usar a definição de subespaço vetorial: precisamos checar que S não é vazio, que é fechado sob soma e sob multiplicação escalar.

Passo 2

Primeiro, mostramos que S contém o vetor zero. A matriz zero 0_{n×n} tem det 0_{n×n} = 0, logo 0_{n×n} ∈ S. Então S é não vazio.

Passo 3

Agora, fechamos sob multiplicação escalar. Se A ∈ S, então det A = 0. Para qualquer escalar λ ∈ ℝ temos det(λA) = λ^n det(A) = λ^n·0 = 0. Portanto λA ∈ S.

Passo 4

Por fim, testamos fechamento sob soma. Escolhemos dois exemplos simples:
A = 1 & 0 0 & 0 e B = 0 & 0 0 & 1 em M_{2×2}(ℝ). Temos det A = 0 e det B = 0, mas
A + B = 1 & 0 0 & 1 cuja det(A + B) = 1 ≠ 0. Isso mostra que A + B ∉ S.

Passo 5

Como S falha em ser fechado sob adição, concluímos que S não satisfaz todas as condições de subespaço vetorial.

Resposta

S não é subespaço vetorial de V, pois não é fechado sob soma.

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