Determine se S é um subespaço vetorial de V nos seguintes casos:
e
.
Passo 1
O enunciado pede para verificar se o conjunto
S = {A ∈ M_{n×n}(ℝ): det A = 0} é subespaço de V = M_{n×n}(ℝ). Vamos usar a definição de subespaço vetorial: precisamos checar que S não é vazio, que é fechado sob soma e sob multiplicação escalar.
S = {A ∈ M_{n×n}(ℝ): det A = 0} é subespaço de V = M_{n×n}(ℝ). Vamos usar a definição de subespaço vetorial: precisamos checar que S não é vazio, que é fechado sob soma e sob multiplicação escalar.
Passo 2
Primeiro, mostramos que S contém o vetor zero. A matriz zero 0_{n×n} tem det 0_{n×n} = 0, logo 0_{n×n} ∈ S. Então S é não vazio.
Passo 3
Agora, fechamos sob multiplicação escalar. Se A ∈ S, então det A = 0. Para qualquer escalar λ ∈ ℝ temos det(λA) = λ^n det(A) = λ^n·0 = 0. Portanto λA ∈ S.
Passo 4
Por fim, testamos fechamento sob soma. Escolhemos dois exemplos simples:
A = e B =
em M_{2×2}(ℝ). Temos det A = 0 e det B = 0, mas
A + B = cuja det(A + B) = 1 ≠ 0. Isso mostra que A + B ∉ S.
A =
A + B =
Passo 5
Como S falha em ser fechado sob adição, concluímos que S não satisfaz todas as condições de subespaço vetorial.
Resposta
S não é subespaço vetorial de V, pois não é fechado sob soma.