Determine se S é um subespaço vetorial de V nos seguintes casos:
V=Mn times n(R) e .

Passo 1

O enunciado nos coloca em V = Mntimes n(R), o espaço de todas as matrizes reais n×n, e define S = Ain Mntimes n(R):A-A^T=0. Ou seja, S é o conjunto de matrizes simétricas. Para mostrar que S é um subespaço vetorial vamos usar a definição: S deve conter a matriz zero, ser fechado sob soma e ser fechado sob multiplicação escalar.

Passo 2

Primeiro, verificar que a matriz zero está em S. A matriz zero 0 satisfaz 0-0^T=0. Como o resultado é a matriz zero, concluímos que 0in S, então S não é vazio.

Passo 3

Agora, checar fechamento sob soma. Sejam A e B duas matrizes em S. Isso significa que A^T=A e B^T=B. Então
(A+B)^T = A^T + B^T = A + B

Passo 4

Como (A+B)^T = A+B, a matriz A+B também satisfaz a condição de simetria, logo A+B in S.

Passo 5

Por fim, verificar fechamento sob multiplicação escalar. Tome uma matriz Ain S e um escalar lambdainR. Temos
(lambda A)^T = lambda A^T = lambda A

Passo 6

Isso mostra que lambda A é simétrica e, portanto, lambda A in S.

Resposta

Sim. Como S contém a matriz zero, é fechado sob soma e sob multiplicação por escalar, concluímos que S é um subespaço vetorial de V.

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