Determine se S é um subespaço vetorial de V nos seguintes casos:
e
.
Passo 1
O enunciado nos coloca em V =
, o espaço de todas as matrizes reais n×n, e define S =
. Ou seja, S é o conjunto de matrizes simétricas. Para mostrar que S é um subespaço vetorial vamos usar a definição: S deve conter a matriz zero, ser fechado sob soma e ser fechado sob multiplicação escalar.
Passo 2
Primeiro, verificar que a matriz zero está em S. A matriz zero
satisfaz
. Como o resultado é a matriz zero, concluímos que
, então S não é vazio.
Passo 3
Agora, checar fechamento sob soma. Sejam
e
duas matrizes em S. Isso significa que
e
. Então
Passo 4
Como
, a matriz
também satisfaz a condição de simetria, logo
.
Passo 5
Por fim, verificar fechamento sob multiplicação escalar. Tome uma matriz
e um escalar
. Temos
Passo 6
Isso mostra que
é simétrica e, portanto,
.
Resposta
Sim. Como S contém a matriz zero, é fechado sob soma e sob multiplicação por escalar, concluímos que S é um subespaço vetorial de V.