Determine se S é um subespaço vetorial de V nos seguintes casos:
V=R^3 e .

Passo 1

O enunciado pede para ver se S=Q^3 é subespaço de V=R^3. O conteúdo aqui é a definição de subespaço vetorial: precisamos que S contenha o vetor zero, seja fechado sob soma e sob multiplicação por escalar (considerando o mesmo corpo de escalares de V, ou seja, R).

Passo 2

Primeiro, conferimos o vetor zero e a estabilidade pela soma: o vetor zero (0,0,0) tem coordenadas racionais, logo (0,0,0)in S. Se (x1,y1,z1) e (x2,y2,z2) têm todas as coordenadas racionais, a soma (x1+x2,y1+y2,z1+z2) também tem coordenadas racionais. Logo, S é não-vazio e fechado sob adição.

Passo 3

Agora, testamos a multiplicação por escalar em R. Escolha um escalar irracional, por exemplo alpha=raiz2. Se (x,y,z)in S, então x,y,zinQ. Mas alpha x=raiz2,x é, em geral, irracional quando xneq0. Então (alpha x,alpha y,alpha z)notin S. Isso mostra que S não é fechado sob multiplicação por escalar.

Passo 4

Como falha a estabilidade sob multiplicação por escalar em R, concluímos que S não satisfaz a definição de subespaço vetorial de V.

Resposta

S=Q^3 não é subespaço vetorial de R^3.

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