Determine se S é um subespaço vetorial de V nos seguintes casos:
e
.
Passo 1
O enunciado pede para ver se
é subespaço de
. O conteúdo aqui é a definição de subespaço vetorial: precisamos que
contenha o vetor zero, seja fechado sob soma e sob multiplicação por escalar (considerando o mesmo corpo de escalares de
, ou seja,
).
Passo 2
Primeiro, conferimos o vetor zero e a estabilidade pela soma: o vetor zero
tem coordenadas racionais, logo
. Se
e
têm todas as coordenadas racionais, a soma
também tem coordenadas racionais. Logo,
é não-vazio e fechado sob adição.
Passo 3
Agora, testamos a multiplicação por escalar em
. Escolha um escalar irracional, por exemplo
. Se
, então
. Mas
é, em geral, irracional quando
. Então
. Isso mostra que
não é fechado sob multiplicação por escalar.
Passo 4
Como falha a estabilidade sob multiplicação por escalar em
, concluímos que
não satisfaz a definição de subespaço vetorial de
.