As matrizes dadas representam uma matriz aumentada de um sistema linear. Escreva o conjunto de equações lineares correspondentes do sistema e use o método de GaussJordan para resolver o sistema linear. Introduza variáveis livres se necessário.
[cccc|c3 & -1 & 0 & 4 & 1 2 & 0 & 3 & 3 & -1]

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício pede. Temos uma matriz aumentada de um sistema linear:
3 & -1 & 0 & 4 & 1 2 & 0 & 3 & 3 & -1
Isso significa que estamos lidando com um sistema de equações lineares com quatro variáveis. Vamos precisar escrever essas equações e usar o método de Gauss-Jordan para encontrar as soluções. Se necessário, também identificaremos variáveis livres.

Passo 2

Vamos começar escrevendo as equações correspondentes à matriz aumentada. Cada linha da matriz representa uma equação, onde os primeiros quatro números são os coeficientes das variáveis x1, x2, x3 e x4, respectivamente, e o último número após a barra é o termo independente.
Portanto, a matriz dada corresponde ao seguinte sistema de equações:
3x1 - x2 + 0x3 + 4x4 = 1 2x1 + 0x2 + 3x3 + 3x4 = -1

Passo 3

Agora, vamos organizar essas equações para facilitar a aplicação do método de Gauss-Jordan. Reescrevendo sem os termos que multiplicam zero:
3x1 - x2 + 4x4 = 1 2x1 + 3x3 + 3x4 = -1

Passo 4

O método de Gauss-Jordan envolve transformar a matriz aumentada em uma forma escalonada reduzida, onde conseguimos encontrar os valores das variáveis. Vamos montar a matriz aumentada do sistema:
[cccc|c 3 & -1 & 0 & 4 & 1 2 & 0 & 3 & 3 & -1 ]

Passo 5

O objetivo é ter 1’s na diagonal principal e 0’s abaixo e acima deles. Começamos dividindo a primeira linha por 3 para tornar o primeiro elemento igual a 1:
[cccc|c 1 & -13 & 0 & 43 & 13 2 & 0 & 3 & 3 & -1 ]

Passo 6

Agora, vamos eliminar o x1 da segunda linha. Para isso, subtraímos 2 vezes a primeira linha da segunda linha:
Linha 2 = Linha 2 - 2 × Linha 1
[cccc|c 1 & -13 & 0 & 43 & 13 0 & 23 & 3 & 53 & -53 ]

Passo 7

Agora, vamos simplificar a segunda linha multiplicando por 32 para obter um 1 no segundo pivô:
[cccc|c 1 & -13 & 0 & 43 & 13 0 & 1 & 92 & 52 & -52 ]

Passo 8

Com o segundo pivô igual a 1, vamos eliminar o -13 da primeira linha. Para isso, adicionamos 13 vezes a segunda linha à primeira linha:
Linha 1 = Linha 1 + 13 × Linha 2
[cccc|c 1 & 0 & 32 & 32 & 0 0 & 1 & 92 & 52 & -52 ]

Passo 9

Agora, a matriz está na forma reduzida. Podemos escrever as equações correspondentes:
x1 + 32x3 + 32x4 = 0 x2 + 92x3 + 52x4 = -52

Passo 10

Observamos que temos duas equações com quatro variáveis. Isso significa que teremos variáveis livres. Vamos escolher x3 e x4 como variáveis livres.
Vamos chamar x3 = s e x4 = t, onde s e t podem ser quaisquer números reais.

Passo 11

Substituindo x3 = s e x4 = t nas equações:
Para a primeira equação:
x1 + 32s + 32t = 0 Rightarrow x1 = -32s - 32t
Para a segunda equação:
x2 + 92s + 52t = -52 Rightarrow x2 = -92s - 52t - 52

Resposta

O conjunto solução do sistema é dado por:
x1 = -32s - 32t x2 = -92s - 52t - 52 x3 = s x4 = t
onde s e t são números reais quaisquer.

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