Determine o(s) valor(es) de de modo que:
O conjunto seja uma base de .
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para encontrar os valores de que fazem com que o conjunto de três vetores forme uma base de . Isso significa que esses vetores precisam ser linearmente independentes. Para verificar isso, vamos usar o conceito de determinante de uma matriz.
Passo 2
Primeiro, vamos organizar esses vetores como colunas de uma matriz. Ficaria assim:
Passo 3
Para que os vetores formem uma base, a matriz A precisa ter determinante diferente de zero. O determinante nos ajuda a saber se a matriz é invertível, o que está diretamente ligado à independência linear dos vetores.
Passo 4
Vamos calcular o determinante de A . Para uma matriz 3 times 3 , o determinante é calculado assim:
Agora, queremos que o determinante seja diferente de zero:
k^2 - k neq 0
Vamos resolver a equação auxiliar k^2 - k = 0 para encontrar os valores que NÃO queremos:
k(k - 1) = 0
Então, k = 0 ou k = 1 .
Passo 7
Portanto, para que os vetores formem uma base de R^3 , k não pode ser igual a 0 nem a 1. Qualquer outro valor real de k vai fazer com que o determinante seja diferente de zero, garantindo a independência linear dos vetores.
Resposta
Os valores de k que fazem o conjunto ser uma base de R^3 são todos os números reais exceto k = 0 e k = 1 . Ou seja, k in R setminus 0, 1 .