Determine o(s) valor(es) de k in R de modo que:
O conjunto (1,0, k),(1,1, k),(1,1, k^2) seja uma base de R^3.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para encontrar os valores de k que fazem com que o conjunto de três vetores (1,0,k), (1,1,k), (1,1,k^2) forme uma base de R^3. Isso significa que esses vetores precisam ser linearmente independentes. Para verificar isso, vamos usar o conceito de determinante de uma matriz.

Passo 2

Primeiro, vamos organizar esses vetores como colunas de uma matriz. Ficaria assim:
A = 1 & 1 & 1 0 & 1 & 1 k & k & k^2

Passo 3

Para que os vetores formem uma base, a matriz A precisa ter determinante diferente de zero. O determinante nos ajuda a saber se a matriz é invertível, o que está diretamente ligado à independência linear dos vetores.

Passo 4

Vamos calcular o determinante de A . Para uma matriz 3 times 3 , o determinante é calculado assim:
det(A) = 1 cdot (1 cdot k^2 - 1 cdot k) - 1 cdot (0 cdot k^2 - 1 cdot k) + 1 cdot (0 cdot 1 - 1 cdot k)

Passo 5

Simplificando os cálculos:
det(A) = 1 cdot (k^2 - k) - 1 cdot (0 - k) + 1 cdot (0 - k)
det(A) = k^2 - k + k - k
det(A) = k^2 - k

Passo 6

Agora, queremos que o determinante seja diferente de zero:
k^2 - k neq 0
Vamos resolver a equação auxiliar k^2 - k = 0 para encontrar os valores que NÃO queremos:
k(k - 1) = 0
Então, k = 0 ou k = 1 .

Passo 7

Portanto, para que os vetores formem uma base de R^3 , k não pode ser igual a 0 nem a 1. Qualquer outro valor real de k vai fazer com que o determinante seja diferente de zero, garantindo a independência linear dos vetores.

Resposta

Os valores de k que fazem o conjunto ser uma base de R^3 são todos os números reais exceto k = 0 e k = 1 . Ou seja, k in R setminus 0, 1 .

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