Questão 4. (25pt) Considere o plano pi parametrizado por t e s :
pi=(3-2 t+4 s,-5+2 t-2 s, t-s) t, s in R
a) ( 2 pt ) Determine um ponto no plano pi.
b) ( 8 pt ) Determine dois vetores paralelos ao plano pi.
c) (15pt) Determine uma equação do tipo
a x+b y+c z+d=0
cujas soluções formam o plano pi.
Dica: Use a resposta da letra b) para encontrar um vetor perpendicular ao plano pi.

Passo 1

O enunciado nos dá o plano pi parametrizado por
(x,y,z) = l(3 - 2t + 4s,;-5 + 2t -2s,;t - sr),
com parâmetros t,sinR.
Conteúdo: geometria analítica de planos em R^3.
O que vamos precisar:
– Para (a), basta escolher valores de t,s.
– Para (b), usar as derivadas parciais em relação a t e s para achar vetores diretores.
– Para (c), obter o vetor normal via produto vetorial e escrever a equação a x + b y + c z + d = 0.

Passo 2

Para encontrar um ponto no plano, escolho t=0 e s=0. Substituindo:
(x,y,z) = (3 - 2cdot0 + 4cdot0,;-5 + 2cdot0 -2cdot0,;0 - 0) = (3,,-5,,0)

Passo 3

Os vetores paralelos ao plano vêm das derivadas parciais de (x,y,z) em relação a t e a s.
– Variação em t:
partialpartial t(x,y,z) = (-2,;2,;1)
– Variação em s:
partialpartial s(x,y,z) = (4,;-2,;-1)

Passo 4

Para achar um vetor normal n=(a,b,c), fazemos o produto vetorial dos vetores (-2,2,1) e (4,-2,-1):
n = (-2,2,1)times(4,-2,-1) = l| i&j&k -2&2&1 4&-2&-1 r| = (0,;2,;-4)
Podemos simplificar para (0,1,-2), pois qualquer múltiplo define o mesmo plano.

Passo 5

A equação do plano é
ncdotl((x,y,z)-(3,-5,0)r)=0,
isto é,
(0,1,-2)cdotl(x-3,;y+5,;z-0r)=0 ;Longrightarrow; 0,(x-3) +1,(y+5) -2,(z)=0
Logo,
y +5 -2z = 0 Long<=ftrightarrow 0,x +1,y -2,z +5 = 0

Resposta

a) Um ponto em pi é (3,-5,0).
b) Dois vetores paralelos são l(-2,2,1r) e l(4,-2,-1r).
c) Uma equação do plano é
y -2z +5 = 0

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