Sejam A=[ll1 & 2 3 & 4], e beta=[ll1 & 0 0 & 0],[ll1 & 1 0 & 0],[ll1 & 1 1 & 0],[ll1 & 1 1 & 1] uma base ordenada de M(2,2). A soma dos quadrados das entradas de [A]beta é:
(a) 10 .
(b) 19 .
(c) 21 .
(d) 30 .
(e) 36 .

Passo 1

O enunciado dá a matriz
A = 1 & 2 3 & 4
e a base ordenada beta = b1,b2,b3,b4 de M(2,2), onde
b1 = 1 & 0 0 & 0, b2 = 1 & 1 0 & 0, b3 = 1 & 1 1 & 0, b4 = 1 & 1 1 & 1
Precisamos encontrar as coordenadas (x1,x2,x3,x4) tais que
x1b1 + x2b2 + x3b3 + x4b4 = A
e depois calcular a soma dos quadrados desses xi.

Passo 2

Igualando as entradas em cada posição de matriz, obtemos o sistema
x1 + x2 + x3 + x4 = 1
x2 + x3 + x4 = 2
x3 + x4 = 3
x4 = 4

Passo 3

Resolvendo de baixo para cima:
Da última equação,
x4 = 4
Então na terceira equação
x3 + 4 = 3 Longrightarrow x3 = -1
Na segunda
x2 + (-1) + 4 = 2 Longrightarrow x2 = -1
E finalmente na primeira
x1 + (-1) + (-1) + 4 = 1 Longrightarrow x1 = -1
Logo as coordenadas são
(x1,x2,x3,x4) = (-1,-1,-1,4)

Passo 4

A soma dos quadrados das coordenadas é
(-1)^2 + (-1)^2 + (-1)^2 + 4^2 = 1 + 1 + 1 + 16 = 19

Resposta

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