Determine a>0 sabendo que lim x 0(13 a x-1x^2+3 a x)=118.

Passo 1

O enunciado pede para determinar a>0 de modo que
limxto0l(13ax-1x^2+3axr)=118
O conteúdo aqui é cálculo de limite de função racional e vamos precisar manipular as frações para simplificar a expressão antes de aplicar xto0.

Passo 2

Vamos colocar as duas frações sobre um denominador comum:
13ax-1x^2+3ax =x^2+3ax - 3ax3ax,(x^2+3ax) =x^23ax,(x^2+3ax)

Passo 3

Note que x^2+3ax = x(x+3a). Então
x^23ax,(x^2+3ax) =x^23a xcdot x(x+3a) =x^23a,x^2(x+3a) =13a(x+3a),
válido para xneq0.

Passo 4

Agora calculamos o limite quando xto0:
limxto013a(x+3a) =13a,(0+3a) =19a^2
O enunciado diz que esse valor deve ser tfrac118. Logo,
19a^2=118 Longrightarrow 9a^2=18 Longrightarrow a^2=2

Passo 5

Como queremos a>0, concluímos que
a=raiz2

Resposta

a=raiz2

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