( 8 pontos) prove que a função
possui uma raiz real.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem a função
e precisa provar que ela tem pelo menos uma raiz real, ou seja, que existe algum valor de
que faz
. Para isso, vamos usar um conceito de cálculo chamado Teorema do Valor Intermediário, que é super útil pra mostrar que funções contínuas cruzam o eixo x.
Passo 2
Primeiro, vamos confirmar que a função
é contínua. Funções como a raiz cúbica e polinômios são contínuas em todos os números reais, então
também é contínua.
Passo 3
Agora, vamos escolher dois valores de
para ver os sinais de
. Vamos tentar
e
.
Quando
:
Então,
(negativo).
Quando
:
Então,
(positivo).
Passo 4
Vemos que
e
. Como a função é contínua e passou de negativo para positivo ao aumentar
de 0 para 1, pelo Teorema do Valor Intermediário, deve existir pelo menos um valor de
entre 0 e 1 onde
.
Resposta
A função
possui pelo menos uma raiz real no intervalo
.