( 8 pontos) prove que a função f(x)=raiz[3]x-1+x possui uma raiz real.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a função f(x) = raiz[3]x - 1 + x e precisa provar que ela tem pelo menos uma raiz real, ou seja, que existe algum valor de x que faz f(x) = 0 . Para isso, vamos usar um conceito de cálculo chamado Teorema do Valor Intermediário, que é super útil pra mostrar que funções contínuas cruzam o eixo x.

Passo 2

Primeiro, vamos confirmar que a função f(x) é contínua. Funções como a raiz cúbica e polinômios são contínuas em todos os números reais, então f(x) também é contínua.

Passo 3

Agora, vamos escolher dois valores de x para ver os sinais de f(x) . Vamos tentar x = 0 e x = 1 .
Quando x = 0 :
f(0) = raiz[3]0 - 1 + 0 = 0 - 1 + 0 = -1
Então, f(0) = -1 (negativo).
Quando x = 1 :
f(1) = raiz[3]1 - 1 + 1 = 1 - 1 + 1 = 1
Então, f(1) = 1 (positivo).

Passo 4

Vemos que f(0) = -1 e f(1) = 1 . Como a função é contínua e passou de negativo para positivo ao aumentar x de 0 para 1, pelo Teorema do Valor Intermediário, deve existir pelo menos um valor de x entre 0 e 1 onde f(x) = 0 .

Resposta

A função f(x) = raiz[3]x - 1 + x possui pelo menos uma raiz real no intervalo [0, 1].

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