Determine B sabendo que ([ll2 & 4 6 & 8]+2 B^T)^-1=[cc-3 & -1 5 & 2].

Passo 1

Beleza, vamos começar descomplicando o enunciado! A gente tem uma equação de matrizes que envolve a matriz B transposta e a inversa de uma soma. O objetivo é descobrir qual é a matriz B . Para resolver isso, vamos precisar manusear matrizes, entender transposição e inversão de matrizes. Vamos por partes!

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a equação que a gente recebeu:
( 2 & 4 6 & 8 + 2 B^T)^-1 = -3 & -1 5 & 2
Nosso objetivo é encontrar B . Para isso, o plano é “desinverter” essa equação. Lembra que se temos (M)^-1 = N , então M = N^-1 . Vamos aplicar isso aqui.

Passo 3

Aplicando a ideia de que a inversa de uma inversa nos dá de volta a matriz original, temos:
2 & 4 6 & 8 + 2 B^T = ( -3 & -1 5 & 2 )^-1
Então, agora precisamos calcular a inversa da matriz do lado direito.

Passo 4

Vamos calcular a inversa da matriz C = -3 & -1 5 & 2 . Para isso, usamos a fórmula da inversa de uma matriz 2x2:
C^-1 = 1det(C) d & -b -c & a
Onde a = -3 , b = -1 , c = 5 , d = 2 .
Primeiro, calculamos o determinante:
det(C) = (-3)(2) - (-1)(5) = -6 + 5 = -1
Então,
C^-1 = 1-1 2 & 1 -5 & -3 = -2 & -1 5 & 3

Passo 5

Agora que temos C^-1 , voltamos à nossa equação:
2 & 4 6 & 8 + 2 B^T = -2 & -1 5 & 3
Queremos isolar 2 B^T , então vamos subtrair a primeira matriz de ambos os lados:
2 B^T = -2 & -1 5 & 3 - 2 & 4 6 & 8 = -4 & -5 -1 & -5

Passo 6

Agora, para encontrar B^T , dividimos ambos os lados por 2:
B^T = 12 -4 & -5 -1 & -5 = -2 & -2.5 -0.5 & -2.5

Passo 7

Finalmente, como queremos B e não B^T , fazemos a transposição de B^T :
B = ( B^T )^T = -2 & -0.5 -2.5 & -2.5

Resposta

A matriz B que satisfaz a equação é:
B = -2 & -0.5 -2.5 & -2.5

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