Sabe-se que A é uma matriz 3 times 3 e que det(A)=17. Calcule o det((2 A)^-1).

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para calcular o determinante de (2A)^-1, sabendo que A é uma matriz 3 times 3 e det(A) = 17. Para isso, vamos usar propriedades dos determinantes, especificamente como o determinante se comporta com multiplicação por escalar e com a inversa de uma matriz.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que quando multiplicamos uma matriz por um escalar, o determinante da nova matriz é o determinante da matriz original multiplicado pelo escalar elevado à potência do tamanho da matriz. No caso, nossa matriz é 3 times 3, então:
det(2A) = 2^3 cdot det(A) = 8 cdot det(A)

Passo 3

Sabemos que det(A) = 17. Substituindo esse valor na equação anterior:
det(2A) = 8 cdot 17 = 136

Passo 4

Agora, queremos encontrar o determinante da inversa da matriz 2A, ou seja, det((2A)^-1). A propriedade dos determinantes nos diz que o determinante da inversa de uma matriz é igual ao inverso do determinante da matriz original:
det((2A)^-1) = 1det(2A)

Passo 5

Substituindo o valor que encontramos para det(2A):
det((2A)^-1) = 1136

Resposta

O determinante de (2A)^-1 é 1136.

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