Expresse o determinante da matriz em função do determinante da matriz B=[llla1 & b1 & c1 a2 & b2 & c2 a3 & b3 & c3] usando apenas as propriedades, sem calcular explicitamente os determinantes. Justifique cada passagem.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos duas matrizes, a matriz A e a matriz B . O objetivo é expressar o determinante de A em função do determinante de B usando apenas as propriedades dos determinantes, sem calcular diretamente. Vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente sobre propriedades de determinantes quando realizamos operações lineares nas linhas ou colunas das matrizes.
Passo 2
Primeiro, vamos entender como a matriz A está relacionada com a matriz B . Observando A e B , percebemos que cada elemento de A é uma combinação linear dos elementos de B . Mais especificamente, a primeira linha de A é a primeira linha de B mais 7 vezes a segunda linha de B , e a segunda linha de A é 3 vezes a primeira linha de B mais a segunda linha de B . A terceira linha de A é igual à terceira linha de B .
Passo 3
Vamos representar isso de forma matricial. Podemos expressar A como o resultado de multiplicar a matriz B por uma matriz de transformação T . A matriz T vai realizar as operações necessárias nas linhas de B para obter A . Então temos:
A = T cdot B
Onde T é:
T = 1 & 7 & 0 3 & 1 & 0 0 & 0 & 1
Passo 4
Sabemos que o determinante de um produto de matrizes é igual ao produto dos determinantes delas. Ou seja:
det(A) = det(T cdot B) = det(T) cdot det(B)
Agora, precisamos calcular det(T) . A matriz T é uma matriz triangular (todos os elementos abaixo ou acima da diagonal principal são zeros), e o determinante de uma matriz triangular é o produto dos elementos da diagonal principal. Então:
det(T) = 1 cdot 1 cdot 1 = 1
Passo 5
Agora que sabemos que det(T) = 1 , substituímos de volta na equação:
det(A) = 1 cdot det(B) = det(B)
Resposta
O determinante da matriz A é igual ao determinante da matriz B :