Sabendo que A=[lll2 & 1 & 2 1 & 0 & 1 0 & 1 & 1] e B=[ll1 & 0 0 & 0 1 & 2], use o método de Gauss-Jordan para determinar a matriz X tal que A X=B.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar a matriz X tal que A X = B , onde:
A = 2 & 1 & 2 1 & 0 & 1 0 & 1 & 1 e B = 1 & 0 0 & 0 1 & 2
Vamos usar o método de Gauss-Jordan, que é uma técnica para resolver sistemas de equações lineares usando operações de linha. Para isso, vamos montar uma matriz aumentada [A | B] e realizar as operações necessárias para encontrar X .

Passo 2

Primeiro, montamos a matriz aumentada [A | B]:
2 & 1 & 2 & | & 1 & 0 1 & 0 & 1 & | & 0 & 0 0 & 1 & 1 & | & 1 & 2
Esse é o ponto de partida para aplicarmos as operações de Gauss-Jordan e isolar a matriz X .

Passo 3

O objetivo do método de Gauss-Jordan é transformar a parte esquerda da matriz aumentada (que é A ) na matriz identidade I . Isso facilita encontrar X diretamente. Vamos começar tornando o primeiro elemento da primeira linha igual a 1.
Dividimos a primeira linha por 2:
1 & 12 & 1 & | & 12 & 0 1 & 0 & 1 & | & 0 & 0 0 & 1 & 1 & | & 1 & 2

Passo 4

Agora, queremos zerar o elemento abaixo do 1 que acabamos de criar na primeira coluna. Para isso, subtraímos a primeira linha da segunda linha:
Linha2 = Linha2 - Linha1
1 & 12 & 1 & | & 12 & 0 0 & -12 & 0 & | & -12 & 0 0 & 1 & 1 & | & 1 & 2

Passo 5

Em seguida, vamos zerar o elemento abaixo do primeiro 1 na terceira linha. Como já está zero, não precisamos fazer nada aqui.
Agora, focamos na segunda coluna. Queremos que o segundo elemento da segunda linha seja 1. Para isso, multiplicamos a segunda linha por -2:
Linha2 = Linha2 × (-2)
1 & 12 & 1 & | & 12 & 0 0 & 1 & 0 & | & 1 & 0 0 & 1 & 1 & | & 1 & 2

Passo 6

Agora, vamos zerar os outros elementos da segunda coluna. Subtraímos a segunda linha da primeira e da terceira linhas:
Linha1 = Linha1 - (½) × Linha2
1 & 0 & 1 & | & 0 & 0 0 & 1 & 0 & | & 1 & 0 0 & 1 & 1 & | & 1 & 2
Linha3 = Linha3 - Linha2
1 & 0 & 1 & | & 0 & 0 0 & 1 & 0 & | & 1 & 0 0 & 0 & 1 & | & 0 & 2

Passo 7

Finalmente, queremos que a matriz à esquerda seja a identidade. Já quase chegamos lá! Agora, vamos zerar os elementos acima do 1 na terceira coluna. Subtraímos a terceira linha da primeira linha:
Linha1 = Linha1 - Linha3
1 & 0 & 0 & | & 0 & -2 0 & 1 & 0 & | & 1 & 0 0 & 0 & 1 & | & 0 & 2

Resposta

A matriz X que satisfaz A X = B é:
X = 0 & -2 1 & 0 0 & 2

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