Uma equação linear da forma
, onde
e
são constantes reais, é chamada equação de Euler de segunda ordem. Mostre que a mudança de variável
se
( e
se
) transforma a equação de Euler em uma equação linear de coeficientes constantes. Aplique esta técnica para determinar a solução geral das equações:
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
- Dado: uma equação da forma
onde e são constantes reais e a variável satisfaz (o caso é análogo usando ). - Pedido 1: Mostrar que a mudança de variável
transforma essa equação numa equação linear de coeficientes constantes (em ). - Pedido 2: Aplicar essa técnica para resolver a equação específica
Informações relevantes que vou usar (já vindas do enunciado):
- A substituição proposta é
quando . - A função
será vista como função de ; após a mudança, vou definir .
Passo 2
Expressar as derivadas em
por derivadas em
usando a regra da cadeia.
-
Definição: seja
Então é escrita em termos de . -
Regra da cadeia aplicada uma vez:Como
, tem-se . Portanto, Isolando: -
Regra da cadeia aplicada duas vezes (segunda derivada): calcular
.
Use produto e novamente a regra da cadeia:Aquie . Logo Isolando: E como, obtemos
Resumo das fórmulas obtidas (todas válidas para
):
Passo 3
Substituir essas expressões na equação de Euler geral e mostrar que resulta em equação de coeficientes constantes.
Partindo de
substituo usando as fórmulas do passo anterior:
- Substituir
por . - Substituir
por . - Substituir
por (pois ).
Fica:
Agrupando termos:
Observação: essa é uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes (os coeficientes
e
são constantes). Assim, a transformação
converte a equação de Euler em uma equação de coeficientes constantes em
, como pedido.
Passo 4
Explicar como resolver a equação linear de coeficientes constantes obtida.
- Para resolver uma equação homogênea linear de segunda ordem com coeficientes constantes
procura-se soluções da forma exponencial . Substituindo nessa forma obtém-se a equação característica (polinomial): - Resolver essa quadrática fornece as raízes
e . Dependendo das raízes: - Se
e são reais e distintos, a solução geral é . - Se são reais iguais (
), a solução é . - Se são complexas conjugadas
, a solução é .
- Se
- Depois de obter
, retornar para usando , ou seja . Note que , então a solução em será uma combinação de potências .
Passo 5
Aplicar todo o processo à equação específica
-
Primeiro simplifico dividindo a equação por
(facilita identificar e ): Assime . -
Pela fórmula do passo 3, a equação transformada para
é Substituindoe : -
Montar a equação característica:Calculo do discriminante:As raízes são
-
Como as raízes são reais e distintas, a solução geral em
é ondesão constantes arbitrárias. -
Voltar para a variável
usando (válido para ). Usando obtemos