Uma equação linear da forma x^{2} y^{\prime \prime}+\alpha x y^{\prime}+\beta y=0, onde a e \beta são constantes reais, é chamada equação de Euler de segunda ordem. Mostre que a mudança de variável x=e^{z} se x>0 ( e x=-e^{z} se x<0 ) transforma a equação de Euler em uma equação linear de coeficientes constantes. Aplique esta técnica para determinar a solução geral das equações:
2 x^{2} y^{\prime \prime}+10 x y^{\prime}+3 y=0

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Dado: uma equação da forma x^{2}y''+\alpha x y'+\beta y=0, onde \alpha e \beta são constantes reais e a variável x satisfaz x>0 (o caso x<0 é análogo usando x=-e^{z}).
  • Pedido 1: Mostrar que a mudança de variável x=e^{z} transforma essa equação numa equação linear de coeficientes constantes (em z).
  • Pedido 2: Aplicar essa técnica para resolver a equação específica 2x^{2}y''+10x y'+3y=0.
Informações relevantes que vou usar (já vindas do enunciado):
  • A substituição proposta é x=e^{z} quando x>0.
  • A função y será vista como função de x; após a mudança, vou definir Y(z)=y(e^{z}).

Passo 2

Expressar as derivadas em x por derivadas em z usando a regra da cadeia.
  • Definição: seja Y(z)=y(e^{z}). Então Y é y escrita em termos de z.
  • Regra da cadeia aplicada uma vez: \frac{dY}{dz}=\frac{dy}{dx}\cdot\frac{dx}{dz}.
    Como x=e^{z}, tem-se \dfrac{dx}{dz}=e^{z}=x. Portanto,
    Y'(z)=y'(x)\,x.
    Isolando y'(x):
    y'(x)=\frac{1}{x}Y'(z).
  • Regra da cadeia aplicada duas vezes (segunda derivada): calcular Y''(z)=\dfrac{d}{dz}(Y'(z))=\dfrac{d}{dz}(x\,y'(x)).
    Use produto e novamente a regra da cadeia:
    Y''(z)=\frac{dx}{dz}\,y'(x) + x\frac{d}{dz}(y'(x)).
    Aqui \dfrac{dx}{dz}=x e \dfrac{d}{dz}(y'(x))=y''(x)\cdot\frac{dx}{dz}=y''(x)\,x. Logo
    Y''(z)=x\,y'(x) + x\cdot (x\,y''(x)) = x\,y'(x) + x^{2}y''(x).
    Isolando x^{2}y''(x):
    x^{2}y''(x)=Y''(z)-x\,y'(x).
    E como x\,y'(x)=Y'(z), obtemos
    x^{2}y''(x)=Y''(z)-Y'(z).
Resumo das fórmulas obtidas (todas válidas para x=e^{z}>0):
y'(x)=\frac{1}{x}Y'(z),\qquad x^{2}y''(x)=Y''(z)-Y'(z).

Passo 3

Substituir essas expressões na equação de Euler geral e mostrar que resulta em equação de coeficientes constantes.
Partindo de x^{2}y''+\alpha x y'+\beta y=0, substituo usando as fórmulas do passo anterior:
  • Substituir x^{2}y'' por Y''-Y'.
  • Substituir x y' por Y'.
  • Substituir y por Y (pois Y(z)=y(e^{z})).
Fica:
\bigl(Y''(z)-Y'(z)\bigr) + \alpha\,Y'(z) + \beta\,Y(z)=0.
Agrupando termos:
Y''(z) + (\alpha-1)\,Y'(z) + \beta\,Y(z)=0.
Observação: essa é uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes (os coeficientes \alpha-1 e \beta são constantes). Assim, a transformação x=e^{z} converte a equação de Euler em uma equação de coeficientes constantes em z, como pedido.

Passo 4

Explicar como resolver a equação linear de coeficientes constantes obtida.
  • Para resolver uma equação homogênea linear de segunda ordem com coeficientes constantes Y'' + a\,Y' + b\,Y = 0,procura-se soluções da forma exponencial \displaystyle Y(z)=e^{rz}. Substituindo nessa forma obtém-se a equação característica (polinomial): r^{2}+a r + b = 0.
  • Resolver essa quadrática fornece as raízes r_{1} e r_{2}. Dependendo das raízes:
    • Se r_{1} e r_{2} são reais e distintos, a solução geral é \displaystyle Y(z)=C_{1}e^{r_{1}z}+C_{2}e^{r_{2}z}.
    • Se são reais iguais ( r_{1}=r_{2}=r), a solução é \displaystyle Y(z)=(C_{1}+C_{2}z)e^{rz}.
    • Se são complexas conjugadas r=\mu\pm i\nu, a solução é \displaystyle Y(z)=e^{\mu z}\bigl(C_{1}\cos(\nu z)+C_{2}\sin(\nu z)\bigr).
  • Depois de obter Y(z), retornar para y(x) usando z=\ln x, ou seja y(x)=Y(\ln x). Note que e^{r z} = e^{r\ln x} = x^{r}, então a solução em x será uma combinação de potências x^{r}.

Passo 5

Aplicar todo o processo à equação específica 2x^{2}y''+10x y'+3y=0.
  • Primeiro simplifico dividindo a equação por 2 (facilita identificar \alpha e \beta):
    x^{2}y'' + 5x y' + \tfrac{3}{2}y = 0.
    Assim \alpha=5 e \beta=\tfrac{3}{2}.
  • Pela fórmula do passo 3, a equação transformada para Y(z) é
    Y'' + (\alpha-1)Y' + \beta Y = 0.
    Substituindo \alpha=5 e \beta=\tfrac{3}{2}:
    Y'' + 4Y' + \tfrac{3}{2}Y = 0.
  • Montar a equação característica:
    r^{2} + 4r + \tfrac{3}{2} = 0.
    Calculo do discriminante:
    \Delta = 4^{2} - 4\cdot 1\cdot \tfrac{3}{2} = 16 - 6 = 10.
    As raízes são
    r = \frac{-4 \pm \sqrt{10}}{2} = -2 \pm \frac{\sqrt{10}}{2}.
  • Como as raízes são reais e distintas, a solução geral em z é
    Y(z)=C_{1}e^{\left(-2+\tfrac{\sqrt{10}}{2}\right)z} + C_{2}e^{\left(-2-\tfrac{\sqrt{10}}{2}\right)z},
    onde C_{1},C_{2} são constantes arbitrárias.
  • Voltar para a variável x usando z=\ln x (válido para x>0). Usando e^{r z}=x^{r} obtemos
    y(x)=C_{1}x^{-2+\tfrac{\sqrt{10}}{2}} + C_{2}x^{-2-\tfrac{\sqrt{10}}{2}},\qquad x>0.

Resposta

y(x)=C_{1}x^{-2+\tfrac{\sqrt{10}}{2}}+C_{2}x^{-2-\tfrac{\sqrt{10}}{2}}

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