Use o teste da integral para determinar a convergência ou não das seguientes séries
\sum k^{2} e^{-k^{2}}

Passo 1

O que o enunciado dá e pede:
  • Dada a série de termos positivos \sum_{k=1}^{\infty} k^{2} e^{-k^{2}}.
  • Pergunta-se se essa série converge ou diverge.
  • Informação útil que já temos do enunciado: os termos a_k = k^{2} e^{-k^{2}} são positivos para todo k\ge1.

Passo 2

Escolha do método: vou aplicar o teste da integral (teste de Cauchy) porque ele é apropriado para séries com termos da forma f(k) quando f é uma função positiva, contínua e decrescente em [1,\infty). Lembrete do teste da integral:
\text{Se } f:(1,\infty)\to(0,\infty)\text{ é contínua, positiva e decrescente, e }a_k=f(k),éí
\text{então } \sum_{k=1}^{\infty} a_k \text{ converge } \iff \int_{1}^{\infty} f(x)\,dx \text{ converge.}ã
Vou verificar as hipóteses para f(x)=x^{2}e^{-x^{2}}.

Passo 3

Verificando que f é positiva e contínua:
  • Para todo x\ge1 tem-se x^{2}\ge0 e e^{-x^{2}}>0, logo f(x)=x^{2}e^{-x^{2}}>0.
  • f é produto de funções contínuas, logo é contínua em [1,\infty).
Verificando que f é decrescente para x\ge1:
  • Calculo a derivada:
f'(x)=\frac{d}{dx}\big(x^{2}e^{-x^{2}}\big) =2x e^{-x^{2}} + x^{2}\big(-2x e^{-x^{2}}\big) =2x(1-x^{2})e^{-x^{2}}.
  • Para x>1 temos 1-x^{2}<0, 2x>0 e e^{-x^{2}}>0, portanto f'(x)<0 para todo x>1. Assim f é decrescente em [1,\infty).
  • Logo as hipóteses do teste da integral estão satisfeitas.

Passo 4

Aplicando o teste: precisamos estudar a integral imprópria
\int_{1}^{\infty} x^{2} e^{-x^{2}}\,dx.
Vou calcular essa integral por partes (ou usar uma manipulação simples). Considere a primitiva:
\int x^{2} e^{-x^{2}}\,dx.
Faço integração por partes escolhendo u=x e dv = x e^{-x^{2}}\,dx. Então du=dx e uma primitiva de dv é v=\displaystyle -\tfrac{1}{2}e^{-x^{2}} (porque \frac{d}{dx}e^{-x^{2}}=-2x e^{-x^{2}}). Assim
\int x^{2} e^{-x^{2}}\,dx = x\left(-\tfrac{1}{2}e^{-x^{2}}\right) - \int \left(-\tfrac{1}{2}e^{-x^{2}}\right)\,dx = -\tfrac{x}{2} e^{-x^{2}} + \tfrac{1}{2}\int e^{-x^{2}}\,dx.
Portanto, a integral imprópria de 1 a \infty é
\int_{1}^{\infty} x^{2} e^{-x^{2}}\,dx = \lim_{b\to\infty}\left[ -\tfrac{x}{2} e^{-x^{2}} \right]_{1}^{b} + \tfrac{1}{2}\int_{1}^{\infty} e^{-x^{2}}\,dx.
Avalio o primeiro termo: como x e^{-x^{2}}\to0 quando x\to\infty (a exponencial domina polinômios), tem-se
\lim_{b\to\infty}\left(-\tfrac{b}{2}e^{-b^{2}}\right) = 0,
e portanto o termo de borda dá \tfrac{1}{2}e^{-1}. Logo
\int_{1}^{\infty} x^{2} e^{-x^{2}}\,dx = \tfrac{1}{2}e^{-1} + \tfrac{1}{2}\int_{1}^{\infty} e^{-x^{2}}\,dx.

Passo 5

Mostrar que \displaystyle \int_{1}^{\infty} e^{-x^{2}}\,dx é finita:
  • Para x\ge1 temos x^{2}\ge x, logo e^{-x^{2}}\le e^{-x}.
  • Assim
\int_{1}^{\infty} e^{-x^{2}}\,dx \le \int_{1}^{\infty} e^{-x}\,dx = e^{-1}.
  • Portanto \int_{1}^{\infty} e^{-x^{2}}\,dx converge (é menor que e^{-1}), e consequentemente \int_{1}^{\infty} x^{2} e^{-x^{2}}\,dx é finita.

Passo 6

Conclusão pelo teste da integral:
  • A integral \displaystyle \int_{1}^{\infty} x^{2} e^{-x^{2}}\,dx converge (é um número finito).
  • Como f(x)=x^{2}e^{-x^{2}} é contínua, positiva e decrescente em [1,\infty), pelo teste da integral a série
\sum_{k=1}^{\infty} k^{2} e^{-k^{2}}
converge.

Resposta

A série \sum_{k=1}^{\infty} k^{2} e^{-k^{2}} converge.

Exercícios relacionados