Use o teste da integral para determinar a convergência ou não das seguientes séries
Passo 1
O que o enunciado dá e pede:
- Dada a série de termos positivos
. - Pergunta-se se essa série converge ou diverge.
- Informação útil que já temos do enunciado: os termos
são positivos para todo .
Passo 2
Escolha do método: vou aplicar o teste da integral (teste de Cauchy) porque ele é apropriado para séries com termos da forma
quando
é uma função positiva, contínua e decrescente em
. Lembrete do teste da integral:
Vou verificar as hipóteses para
.
Passo 3
Verificando que
é positiva e contínua:
- Para todo
tem-se e , logo . -
é produto de funções contínuas, logo é contínua em .
Verificando que
é decrescente para
:
- Calculo a derivada:
- Para
temos , e , portanto para todo . Assim é decrescente em . - Logo as hipóteses do teste da integral estão satisfeitas.
Passo 4
Aplicando o teste: precisamos estudar a integral imprópria
Vou calcular essa integral por partes (ou usar uma manipulação simples). Considere a primitiva:
Faço integração por partes escolhendo
e
. Então
e uma primitiva de
é
(porque
). Assim
Portanto, a integral imprópria de
a
é
Avalio o primeiro termo: como
quando
(a exponencial domina polinômios), tem-se
e portanto o termo de borda dá
. Logo
Passo 5
Mostrar que
é finita:
- Para
temos , logo . - Assim
- Portanto
converge (é menor que ), e consequentemente é finita.
Passo 6
Conclusão pelo teste da integral:
- A integral
converge (é um número finito). - Como
é contínua, positiva e decrescente em , pelo teste da integral a série
converge.
Resposta
A série
converge.