Determine x sabendo que:
\left(10 \angle 20^{\circ}\right)\left(x \angle-60^{\circ}\right)=30,64-j 25,72

Passo 1

O enunciado dá a igualdade
\left(10\angle20^\circ\right)\left(x\angle-60^\circ\right)=30,64-j\,25,72
O que se pede é determinar o valor de x.
Informações relevantes que temos:
  • O primeiro fator em forma polar é 10\angle20^\circ.
  • O segundo fator em forma polar é x\angle-60^\circ (aqui x é a magnitude que queremos achar; o ângulo é -60^\circ).
  • O produto é dado em forma retangular: 30,64-j\,25,72 (ou seja, parte real 30,64 e parte imaginária -25,72).

Passo 2

Vamos converter o número complexo do lado direito para a forma polar (magnitude e argumento), porque à esquerda temos uma forma polar e é mais fácil comparar assim.
Fórmulas que usamos:
\text{magnitude } r=\sqrt{(\text{Re})^2+(\text{Im})^2}, \qquad \text{arg } \theta=\operatorname{atan2}(\text{Im},\text{Re}).
Aqui \text{Re}=30,64 e \text{Im}=-25,72.
Calculemos a magnitude:
r=\sqrt{30,64^2+(-25,72)^2}.
Calculando os quadrados:
30,64^2=938,8096, \qquad 25,72^2=661,5184.
Somando:
30,64^2+25,72^2=938,8096+661,5184=1600,328.
Logo
r=\sqrt{1600,328}\approx40,00.
Agora o argumento: como \text{Re}>0 e \text{Im}<0, o ângulo está no quarto quadrante (valor negativo em graus). Calculamos
\theta=\arctan\!\left(\frac{\text{Im}}{\text{Re}}\right)=\arctan\!\left(\frac{-25,72}{30,64}\right).
A razão vale aproximadamente
\frac{25,72}{30,64}\approx0,839,
e \arctan(0,839)\approx40^\circ. Como a parte imaginária é negativa, o argumento é -40^\circ. Portanto a forma polar do lado direito é aproximadamente
40\angle-40^\circ.

Passo 3

Agora use a propriedade da multiplicação em forma polar: ao multiplicar dois números em forma polar, multiplicam-se as magnitudes e somam-se os ângulos. Assim,
\left(10\angle20^\circ\right)\left(x\angle-60^\circ\right)=(10\cdot x)\angle(20^\circ+(-60^\circ))=(10x)\angle-40^\circ.

Passo 4

Comparando as duas formas polares (produto à esquerda e a forma polar do lado direito), temos
(10x)\angle-40^\circ \approx 40\angle-40^\circ.
Os ângulos coincidem (-40^\circ=-40^\circ), então basta igualar as magnitudes:
10x=40.
Assim
x=\frac{40}{10}=4.

Resposta

x=4

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