Efetue as operações a seguir.
Divisão (expresse as respostas en forma polar):
(-36,0+j 78)-(-4-j 6)+(10,8-j 72)

Passo 1

O enunciado pede que se efetue a operação entre números complexos e que o resultado seja expresso em forma polar. Os números fornecidos (usando vírgula como separador decimal) são:
  • Primeiro número: \, -36,0 + j\,78.
  • Segundo número: \, -4 - j\,6.
  • Terceiro número: \, 10,8 - j\,72.
A operação pedida é
(-36,0 + j\,78) - (-4 - j\,6) + (10,8 - j\,72).
O objetivo final: dar o resultado em forma polar (magnitude e ângulo).

Passo 2

Primeiro passo prático: fazer a operação somando as partes reais entre si e as partes imaginárias entre si. Para operações de adição/subtração de complexos, soma-se componente real com real e imaginária com imaginária.
Sejam \,z_1 = -36,0 + j\,78, \,z_2 = -4 - j\,6, \,z_3 = 10,8 - j\,72.
Queremos \,z = z_1 - z_2 + z_3.
Calcule as partes reais:
\operatorname{Re}(z) = -36,0 - (-4) + 10,8.
Calcule as partes imaginárias:
\operatorname{Im}(z) = 78 - (-6) - 72.

Passo 3

Efetuando as contas das partes:
Para a parte real:
\operatorname{Re}(z) = -36,0 + 4 + 10,8 = -21,2.
Para a parte imaginária:
\operatorname{Im}(z) = 78 + 6 - 72 = 12.
Portanto, em forma retangular o resultado é
z = -21,2 + j\,12.

Passo 4

Agora converter para forma polar. Lembrete: a forma polar de um número complexo é dada por \,r\angle\theta, onde:
  • \,r = |z| = \sqrt{(\operatorname{Re}(z))^{2} + (\operatorname{Im}(z))^{2}} é o módulo (distância ao origem).
  • \,\theta = \arg(z) é o argumento (ângulo), normalmente expresso em graus ou radianos. Para calcular \theta usamos a função arco-tangente considerando o quadrante correto: \theta = \operatorname{atan2}(\operatorname{Im}(z),\operatorname{Re}(z)). Se fizer \arctan\!\big(\tfrac{\operatorname{Im}}{\operatorname{Re}}\big), é preciso ajustar o ângulo quando a parte real for negativa.

Passo 5

Calcular o módulo:
r = \sqrt{(-21,2)^{2} + (12)^{2}}.
Calcule os quadrados:
(-21,2)^{2} = 449,44,\qquad 12^{2} = 144.
Somando:
r = \sqrt{449,44 + 144} = \sqrt{593,44} \approx 24,3606.

Passo 6

Calcular o ângulo. Primeiro a razão:
\frac{\operatorname{Im}(z)}{\operatorname{Re}(z)} = \frac{12}{-21,2} \approx -0,5660377.
Como \operatorname{Re}(z)<0 e \operatorname{Im}(z)>0, o ponto está no segundo quadrante. Então o argumento principal vale
\theta = \pi - \arctan\!\left(\frac{12}{21,2}\right)
(se usar graus, \theta = 180^\circ - \arctan\!\left(\tfrac{12}{21,2}\right)).
Calcule \arctan\!\left(\tfrac{12}{21,2}\right). Numericamente
\arctan\!\left(\tfrac{12}{21,2}\right) \approx 29,523^\circ \approx 0,515333\\ \text{rad}.
Portanto
\theta \approx 180^\circ - 29,523^\circ = 150,477^\circ.
Em radianos:
\theta \approx 2,62726\\ \text{rad}.

Passo 7

Escrevendo o resultado em forma polar (duas formas equivalentes, em graus e em radianos):
z \approx 24,3606 \angle 150,477^\circ,
ou
z \approx 24,3606 \angle 2,62726\\ \text{rad}.
Força aí — já chegamos ao resultado; na prova faça primeiro a soma nas partes real e imaginária e só depois converta para polar, que é o caminho mais rápido e seguro.

Resposta

24,3606\angle150,477^\circ
24,3606\angle2,62726\\ \text{rad}

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