Encontre e represente graficamente o domínio de cada função dada abaixo:
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
- Encontrar o domínio da função
. - Representar graficamente esse domínio no plano
.
Informações dadas e condições imediatas que temos do enunciado:
- A função é a função logaritmo natural aplicada à expressão
. - As variáveis
e são reais (estamos buscando o domínio em ).
Passo 2
Entender a condição de existência do logaritmo: para que
seja um número real é necessário e suficiente que
.
Aplicando isso ao nosso caso, devemos exigir que a expressão dentro do logaritmo seja positiva:
Explicando devagar: se
então
não existe; se
então estamos tentando tirar logaritmo de número negativo, o que também não dá um número real. Por isso a desigualdade é estrita.
Passo 3
Resolver a desigualdade obtida em termos de
e
. Somando
em ambos os lados obtemos:
Isto é simplesmente a condição que os pares
devem satisfazer para que a função esteja definida.
Passo 4
Interpretação geométrica dessa desigualdade:
é a circunferência de centro na origem e raio
. A desigualdade estrita
descreve todos os pontos do plano que ficam estritamente dentro dessa circunferência — ou seja, o disco aberto de raio
centrado na origem. A fronteira (a circunferência) não pertence ao domínio.
Em notação de conjuntos:
Passo 5
Outra forma prática (útil em provas) é usar coordenadas polares. Em polares temos
e
, então
A condição
é equivalente a
. Assim em polares o domínio é
. Isso confirma que é um disco aberto de raio
.
Passo 6
Verificação com pontos concretos (boa prática na prova):
- Para
: , logo está no domínio e . - Para
: , está no domínio e . - Para
: , ponto da fronteira — não está no domínio (aqui não existe). - Para
: , fora do domínio (argumento do log é negativo).
Passo 7
Como representar graficamente (passo a passo para fazer rápido na prova):
- Desenhar os eixos
e . - Desenhar uma circunferência centrada na origem de raio
. - Marcar a circunferência com linha tracejada (ou círculo sem preencher) para indicar que a fronteira não pertence ao domínio.
- Pintar ou sombrear o interior desse círculo — esse é o domínio (o disco aberto).
- Opcional: indicar que
ou escrever a desigualdade ao lado da região sombreada.
Resposta
Disco aberto de raio
centrado na origem.