Encontre e represente graficamente o domínio de cada função dada abaixo:
f(x, y)=\ln \left(4-x^{2}-y^{2}\right)

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  • Encontrar o domínio da função f(x,y)=\ln\!\bigl(4-x^{2}-y^{2}\bigr).
  • Representar graficamente esse domínio no plano (x,y).
Informações dadas e condições imediatas que temos do enunciado:
  • A função é a função logaritmo natural aplicada à expressão 4-x^{2}-y^{2}.
  • As variáveis x e y são reais (estamos buscando o domínio em \mathbb{R}^{2}).

Passo 2

Entender a condição de existência do logaritmo: para que \ln(t) seja um número real é necessário e suficiente que t>0.
Aplicando isso ao nosso caso, devemos exigir que a expressão dentro do logaritmo seja positiva:
4 - x^{2} - y^{2} > 0.
Explicando devagar: se 4-x^{2}-y^{2}=0 então \ln(0) não existe; se 4-x^{2}-y^{2}<0 então estamos tentando tirar logaritmo de número negativo, o que também não dá um número real. Por isso a desigualdade é estrita.

Passo 3

Resolver a desigualdade obtida em termos de x e y. Somando x^{2}+y^{2} em ambos os lados obtemos:
x^{2}+y^{2} < 4.
Isto é simplesmente a condição que os pares (x,y) devem satisfazer para que a função esteja definida.

Passo 4

Interpretação geométrica dessa desigualdade: \;x^{2}+y^{2}=4\; é a circunferência de centro na origem e raio \sqrt{4}=2. A desigualdade estrita \;x^{2}+y^{2}<4\; descreve todos os pontos do plano que ficam estritamente dentro dessa circunferência — ou seja, o disco aberto de raio 2 centrado na origem. A fronteira (a circunferência) não pertence ao domínio.
Em notação de conjuntos:
D=\{(x,y)\in\mathbb{R}^{2}\mid x^{2}+y^{2}<4\}.

Passo 5

Outra forma prática (útil em provas) é usar coordenadas polares. Em polares temos x=r\cos\theta e y=r\sin\theta, então
x^{2}+y^{2}=r^{2}.
A condição r^{2}<4 é equivalente a 0\le r<2. Assim em polares o domínio é \{(r,\theta)\mid 0\le r<2,\;0\le\theta<2\pi\}. Isso confirma que é um disco aberto de raio 2.

Passo 6

Verificação com pontos concretos (boa prática na prova):
  • Para (0,0): x^{2}+y^{2}=0<4, logo está no domínio e f(0,0)=\ln(4).
  • Para (1,1): 1^{2}+1^{2}=2<4, está no domínio e f(1,1)=\ln(2).
  • Para (2,0): 2^{2}+0^{2}=4, ponto da fronteira — não está no domínio (aqui \ln(0) não existe).
  • Para (3,0): 9>4, fora do domínio (argumento do log é negativo).

Passo 7

Como representar graficamente (passo a passo para fazer rápido na prova):
  1. Desenhar os eixos x e y.
  2. Desenhar uma circunferência centrada na origem de raio 2.
  3. Marcar a circunferência com linha tracejada (ou círculo sem preencher) para indicar que a fronteira não pertence ao domínio.
  4. Pintar ou sombrear o interior desse círculo — esse é o domínio (o disco aberto).
  5. Opcional: indicar que r<2 ou escrever a desigualdade x^{2}+y^{2}<4 ao lado da região sombreada.

Resposta

D=\{(x,y)\in\mathbb{R}^{2}\mid x^{2}+y^{2}<4\}
Disco aberto de raio 2 centrado na origem.

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