Determine
sabendo que
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar o valor de
sabendo que o limite quando
tende ao infinito de
é igual a 2. Vamos resolver isso usando conceitos de limites e propriedades de funções radicais. Precisaremos manipular expressões com raízes quadradas e aplicar técnicas de simplificação para encontrar o valor de
.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que acontece quando
tende ao infinito nas expressões dentro das raízes quadradas. Para grandes valores de
, o termo
domina sobre
e
. Então, podemos começar fatorando
de dentro das raízes:
Analogamente,
Passo 3
Agora, substituímos essas expressões no limite original:
Podemos fatorar
nas duas expressões:
Passo 4
Para simplificar a diferença das raízes, utilizamos a técnica de racionalização. Multiplicamos e dividimos pela soma das raízes:
Simplificando o numerador:
Então, a expressão fica:
Passo 5
Voltando ao limite, temos:
À medida que
tende ao infinito,
e
tendem a zero. Então, as raízes se aproximam de
.
Passo 6
Portanto, o denominador aproxima-se de
. Assim, o limite fica:
Agora, resolvemos para
:
Resposta
O valor de
é 16.