Determine a sabendo que
lim x +infty(raizx^2+a x-raizx^2+12 x)=2

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar o valor de sabendo que o limite quando tende ao infinito de é igual a 2. Vamos resolver isso usando conceitos de limites e propriedades de funções radicais. Precisaremos manipular expressões com raízes quadradas e aplicar técnicas de simplificação para encontrar o valor de .

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que acontece quando raizx^2 + a x = raizx^2(1 + ax) = x raiz1 + ax tende ao infinito nas expressões dentro das raízes quadradas. Para grandes valores de raizx^2 + 12 x = raizx^2(1 + 12x) = x raiz1 + 12x , o termo domina sobre e . Então, podemos começar fatorando de dentro das raízes:
Analogamente,

Passo 3

Agora, substituímos essas expressões no limite original:
limx to +infty ( x raiz1 + ax - x raiz1 + 12x ) = 2
Podemos fatorar x ( raiz1 + ax - raiz1 + 12x ) = 2 nas duas expressões:

Passo 4

Para simplificar a diferença das raízes, utilizamos a técnica de racionalização. Multiplicamos e dividimos pela soma das raízes:
raiz1 + ax - raiz1 + 12x = (1 + ax) - (1 + 12x)raiz1 + ax + raiz1 + 12x
Simplificando o numerador:
a - 12x
Então, a expressão fica:
a - 12x ( raiz1 + ax + raiz1 + 12x )

Passo 5

Voltando ao limite, temos:
limx to +infty x cdot a - 12x ( raiz1 + ax + raiz1 + 12x ) = limx to +infty a - 12raiz1 + ax + raiz1 + 12x
À medida que tende ao infinito, e tendem a zero. Então, as raízes se aproximam de .

Passo 6

Portanto, o denominador aproxima-se de a - 122 = 2 . Assim, o limite fica:
a - 122 = 2 implies a - 12 = 4 implies a = 16
Agora, resolvemos para :

Resposta

O valor de é 16.

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